Erdfernerkundung - Numerische Physik: Modellierung

7.1. KORREKTURVERFAHREN 333
Der relative Fehler ist damit σ/µ = 1/ √ µ, d.h. bei kleinen Zählraten ist der relative Fehler
sehr groß, mit zunehmender Zählrate nimmt er ab. Für große Zählraten geht die Poisson-
Verteilung über in die Gauß-Verteilung
f(x) = 1
σ √ 2π exp
�
− 1
2
� � �
2
x − µ
.
σ
§ 1110 Abbildung 7.4 zeigt ein Beispiel für ein simuliertes Poisson-Rauschen. Die Einzelbilder
entsprechen einer Maximalzahl von Photonen, die während der Belichtung auf ein
Pixel fallen konnten von 3, 10, 100 bzw. 1000. Am unteren Bildrand ist jeweils ein linearer
Graukeil angegeben. Im oberen linken Teilbild sind nur die Bereiche mit großem Kontrast
unterscheidbar, Bereiche mit geringem Kontrast (linker unterer Bildteil) dagegen erscheinen
homogen. Der schlechte radiometrische Kontrast reduziert damit auch das räumliche
Auflösungsvermögen. Da benachbarte Pixel selbst bei homogener Szene auf Grund des Rauschens
sehr unterschiedliche Werte annehmen können ( √ 3 ist nahezu 2, d.h. der relative
Fehler ist ca. 60%), erscheint das Bild sehr körnig. Im rechten unteren Teilbild dagegen ist
der relative Fehler wesentlich geringer ( √ 1000 ≈ 32), so dass bei homogener Szene benachbarte
Pixel auf der Grauskala auch ähnliche Werte annehmen und damit bei einfacher visueller
Inspektion nicht unterschieden werden.
§ 1111 Rauschen sorgt also für Variationen der Helligkeitswerte benachbarter Pixel selbst
wenn diese eine homogene Szene betrachten. Umgekehrt können fehlerhafte Pixel leicht im
Rauschen untergehen. Zu ihrer Identifikation kann man einen Filter auf der Basis der in
Abb. 7.2 gezeigten Kernel verwenden: aus allen Punkten des Kernels wird der Mittelwert
gebildet und mit dem Wert des zentralen Punktes verglichen. Liegt dieser mehr als ein vorgegebener
Wert, z.B. das Dreifache der Standardabweichung, vom Mittelwert entfernt, so
wird der Pixel als fehlerhaft identifiziert. Die Korrektur dieses Pixels erfolgt wie oben für
fehlerhafte Pixel beschrieben unter Verwendung des gleichen Kernels.
7.1.5 Glätten und Schärfen
§ 1112 Ein Glättungsfilter zur Reduktion des Rauschens funktioniert ähnlich. Bei einem
linearen Glättungsfilter wird der 3 × 3-Kernel (bzw. bei Bedarf der 5 × 5-Kernel) über die
gesamte Szene geschoben und jeweils das zentrale Pixel durch den Mittelwert des Kernels
ersetzt. Statt eines linearen Filters kann man auch einen Gauß-Filter verwenden, bei dem
entsprechend der zwei-dimensionalen Normalverteilung
f(x, y) = 1
�
exp −
2πσ2 x2 + y2 2σ2 �
gefiltert wird. Als Filtermatrizen ergeben sich für den 3 × 3 bzw. 5 × 5-Kernel
G2 = 1
�
�
� 1
�
16 � 2
� 1
2
4
2
�
1 �
�
2 �
�
1 �
bzw. G4 = 1
�
� 1
�
� 4
�
� 6
256 �
� 4
�
1
4
16
24
16
4
6
24
36
24
6
4
16
24
16
4
�
1 �
�
4 �
�
6 � .
�
4 �
�
1
(7.1)
Im Gegensatz zum Mittelwertfilter wichtet der Gauß’sche Filter die einzelnen Pixel in Abhängigkeit
von ihrem Abstand zum Mittelwert. Wir können an Stelle eines linearen Filters auch
einen Gauß-Filter bei der Korrektur fehlender oder verrauschter Bildpunkte verwenden, der
Kernel ist entsprechend dem in (7.1).
§ 1113 Ein Glättungsfilter hat die Funktion eines Tiefpass: schnelle Variationen (hohe zeitliche
oder räumliche Frequenzen) werden gedämpft, langsame Variationen dagegen bleiben
erhalten. Das Rauschen ist der hochfrequente Anteil des Bildes und damit zu dämpfen. Ein
idealer Tiefpass überträgt bis zu einer Grenzfrequenz vollständig, bei höheren Frequenzen
c○ M.-B. Kallenrode 2. Juli 2008