Erdfernerkundung - Numerische Physik: Modellierung

2.7. ERGÄNZUNG: SPEZIELLE BAHNEN 69
§ 223 Formal scheint sich der Lagrange-Punkt aus dem Gleichgewicht zwischen der Anziehung
der Erde und der der Sonne berechnen zu lassen. Mit R als dem Abstand zwischen
Sonne und Erde ergibt sich der Abstand r dieses Punktes von der Erde wegen
zu
FE = F⊙
�
ME
R M⊙
r =
1 +
� ME
M⊙
→
msMEγ
r 2
≈ r = 266 084 km .
= msM⊙γ
.
(R − r) 2
Stabil ist dieser Punkt in der so diskutierten Form nicht, da eine kleine Auslenkung den Satelliten
stets in Richtung des Körpers stürzen lassen würde, in dessen Richtung er ausgelenkt
wurde. Außerdem würde der Satellit aufgrund des etwas geringeren Abstandes zur Sonne eine
etwas kürzere Umlaufzeit haben und so langsam von der Linie Sonne–Erde weg driften. 23
§ 224 Allerdings ist die obige Betrachtung zum Lagrange-Punkt physikalisch auch nicht
korrekt, da wir es mit einem rotierenden Bezugssystem zu tun haben: die Verbindungsachse
Erde–Sonne rotiert um den gemeinsamen Massenmittelpunkt; dieser ist allerdings nur leicht
gegen den Massenmittelpunkt der Sonne versetzt. Das rotierende Bezugssystem bringt seine
eigenen Probleme – auch als Scheinkräfte bezeichnet – mit sich. Außerdem müssen wir
das Problem als echtes Dreikörperproblem lösen, um auch ein Gefühl für die Stabilität des
Lagrange-Punktes zu entwickeln.
Verständnisfrage 18 Versuchen Sie, anschaulich zu erklären, welchen Einfluss die Zentrifugalkraft
beim Aufhängen eines Satelliten im Lagrange-Punkt hat. Spielt die Corioliskraft
eine Rolle?
§ 225 Nehmen wir als Bezugssystem ein kartesischens Koordinatensystem mit dem Ursprung
im Massenmittelpunkt des Systems Sonne–Erde und der x-Achse entlang der gemeinsamen
Verbindungslinie. 24 Zur Herleitung der Bewegungsgleichung seien jetzt die Einheiten von
Masse, Entfernung und Zeit so gewählt, dass γ(M +m), der konstante Abstand zwischen den
beiden schweren Körpern und die Gravitationskonstante γ gleich 1 gesetzt werden. 25 Aus
Keplers drittem Gesetz ergibt sich, dass die konstante Winkelgeschwindigkeit n der beiden
schweren Körper in einem Inertialsystem ebenfalls gleich 1 ist. In diesen Einheiten ist m das
Verhältnis der kleineren Masse zur Summe der beiden Massen. Die Abstände der Massen M
und m vom Massenschwerpunkt sind dann m und (1-m). Das Bezugssystem sei so gewählt,
dass es mit der Winkelgeschwindigkeit ω = 1 um den Massenschwerpunkt in der Bahnebene
der beiden schweren Körper rotiert. Dann befinden sich die beiden schweren Massen m und
M stets an festen Punkten auf der x-Achse.
§ 226 Die Bewegung einer Testmasse am Punkt (x, y) ist mit diesen Abkürzungen gegeben
durch die Bewegungsgleichung
d2x dy
− 2
dt2 dt
= x − (1 − m)(x − m)
r 3 1
−
m(x − 1 + m)
r 3 2
23Diesen Effekt nutzt man bei den beiden Stereo Satelliten [500] aus: sie befinden sich in leicht elliptischen
Orbits in der Nähe von 1 AU; der eine fällt langsam hinter der Erde zurück, der andere eilt ihr etwas voraus.
Dadurch entsteht eine Konstellation, in der sich beide Satelliten zunehmend voneinander entfernen und so
die gleichzeitige Beobachtung an unterschiedlichen Orten im interplanetaren Raum erlauben.
24Eingeschränktes Dreikörperproblem: die Testmasse wird als klein gegen die beiden anderen Massen betrachtet,
so dass der Massenmittelpunkt aller drei Massen mit dem Massenmittelpunkt der beiden großen
Massen zusammen fällt.
25Dimensionslose Größen sind bei der (analytischen) Betrachtung komplexerer Probleme immer hilfreich.
Aus praktischen Gesichtspunkten haben sie den Vorteil, dass man dann nicht so viele Konstanten mit sich
rumschleppt. Physikalisch lassen sich die diemensionslosen Größen auch so interpretieren, dass man sie als charakteristische
Größen des Systems betrachtet und alle anderen Größen in Einheiten dieser charakteristischen
Größen angibt. Beim einfachen Federpendel bedeutet die Reduktion der Differentiagleichung ¨x + ω2 0x = 0 auf
die dimensionslose Variante ¨x + ω2 0x = 0 nur, dass man ω0 = 1 setzt und damit alle Zeiten in Einheiten der
Periodendauer angegeben werden.
c○ M.-B. Kallenrode 2. Juli 2008
und