Erdfernerkundung - Numerische Physik: Modellierung

2.6. EINBRINGEN DES SATELLITEN IN SEINE BAHN 57
Dabei wird die Ausströmgeschwindigkeit vrel als konstant angenommen. Der Massenstrom
ergibt sich bei konstanter Verbrennungsrate zu
˙m = mleer − m0
tB
mit m0 als der Startmasse der vollbetankten Rakete, mleer als der Masse der leeren Rakete
bei Brennschluss und tB als der Brenndauer. Aus dem Massenstrom lässt sich auch direkt
die Abhängigkeit der Raketenmasse von der Zeit bestimmen als
m(t) = m0 − m0 − mleer
t .
tB
§ 179 Die Reibungskraft ist bestimmt durch den Widerstandsbeiwert cw, die angeströmte
Fläche A, die von der Höhe abhängige Dichte ϱ(x) der Luft sowie der Geschwindigkeit v:
FReib = − 1
2 cwAϱ(x) ˙x 2 .
Die Höhenabhängigkeit der Dichte lässt sich abschätzen zu
�
−6 x
�4.255 ϱ(x) = ϱ0 1 − 22.6 · 10
1 m
mit ϱ0 als der Dichte am Erdboden.
Zwischenrechnung 8 Lässt sich die Abschätzung in irgendeiner Form mit der barometrischen
Höhenformel in Beziehung setzen? Oder finden Sie eine andere Begründung für diese
Näherung?
§ 180 Kombination dieser Kräfte liefert für die Beschleunigung in Abhängigkeit von Zeit t,
Ort x und Geschwindigkeit ˙x
1
¨x(t, x, ˙x) =
m0 − m0−mleer
�
m0 − mleer
vrel −
t tB
tB
1
2 cwAϱ0
�
−6 x
�4.255 1 − 22.6 · 10 ˙x
1 m
2
�
R
−g0
(2.24)
R + x
§ 181 Diese Differentialgleichung ist nicht sehr kooperativ, da die Reibung einen nichtlinearen
Term einbringt, ebenso die Höhenabhängigkeit. Daher ist eine numerische Lösung
erforderlich – oder eine Näherung.
Gravitationsfrei und luftleer
§ 182 Der einfachste Ansatz ist eine Rakete im gravitationsfreien und luftleeren Raum, d.h.
wir beschränken uns auf Impulserhaltung. Die folgende Darstellung ist nicht sehr elegant,
folgt aber der klassischen Herleitung der so genannten Raketengleichung. Daher sei sie hier
trotzdem zitiert. Außerdem ist der Ansatz für die Beschreibung der Übergangsbahnen trotzdem
sinnvoll.
§ 183 Die Impulserhaltung wird formuliert mit den Impulsen m(t)v(t) der Rakete und dem
Impuls (v(t) − v0)β dt der ausgestoßenen Treibgase mit v0 als der Ausströmgeschwindigkeit
und β als der Ausströmrate: dm = βdt. Die Rakete erfährt in einem Zeitintervall dt beim
Ausströmen des Treibgases eine Änderung dp des Impulses gegenüber ihrem Impuls p am
Anfang des Zeitintervalls:
p + dp = (m − βdt) (v + dv) bzw. p = (m − βdt)(v + dv) + β dt (v − v0) .
Ausmultiplizieren und Vernachlässigung des Gliedes dm dv liefert
dv = −v0βdt/m (2.25)
und damit für die Schubkraft F , die einer Rakete der momentanen Masse m die Beschleunigung
dv/dt erteilt,
F = v0 β . (2.26)
c○ M.-B. Kallenrode 2. Juli 2008