Erdfernerkundung - Numerische Physik: Modellierung

314 KAPITEL 6. KOMMUNIKATION
Abbildung 6.20:
Symmetrischer
Binärkanal
Zeichen Code Codierung F1 F2 F3 F4
a 00 0000 1000 0100 0010 0001
b 01 0101 1101 0001 0110 0100
c 10 1010 0010 1110 1000 1011
d 11 1111 0111 1011 1101 1110
wobei die Spalten Fi jeweils den Fehler im i-ten Bit symbolisieren sollen. Jeder einfache
Fehler (d.h. es wird nur ein Bit falsch übertragen) wird erkannt, da das fehlerhafte Signal
sich nicht mehr aus zwei gleichen Teilen zusammensetzt. Jedoch kann der Fehler in diesem
Code noch nicht korrigiert werden: Erhält der Empfänger das Signal 0010, so kann es sich
dabei um ein a handeln (drittes Bit umgeklappt) oder ein c (erstes Bit umgeklappt). Werden
mehr als ein Bit fehlerhaft übertragen, so ist mit diesem Verfahren auch die Fehlererkennung
nicht mehr gewährleistet, da dann statt a (0000) z.B. b (0101) empfangen werden könnte.
Fehlererkennung ist hierbei nur dann möglich, wenn ein Zeichen wie z.B. 1100 empfangen
wurde, das weder zum Zeichenvorrat der Codewörter noch zu dem der um 1 Bit verfälschten
Codewörter gehört.
§ 1046 Das betrachtete Codierungsbeispiel ermöglicht also bei Verdopplung der Bits nur
eine einfache Fehlererkennung, aber keine Korrektur. Fehlererkennung ließe sich für dieses
Beispiel (also mit nur einem umklappenden Bit) auch einfacher einführen. Dazu wird an den
ursprünglichen Code ein Paritätsbit angehängt. Dieses Paritätsbit ist so gewählt, dass jedes
Zeichen eine gerade Anzahl von Einsen enthält. Die Codierungstabelle wird zu
Zeichen Code Codierung
a 00 000
b 01 011
c 10 101
d 11 110
Um einzusehen, dass bei dieser Codierung Fehler erkannt werden können, ist es nicht einmal
notwendig, sich eine Tabelle aller möglicher Fehler anzulegen. Betrachtet man die Codierung,
so zeigt sich, dass sich Zeichen stets durch zwei Bit voneinander unterscheiden (sonst könnte
ja die Zahl der Einsen nicht immer gerade sein), d.h. wenn nur ein Bit falsch übertragen wird,
ist das Zeichen immer illegal insofern, als dass dann plötzlich die Zahl der Bits ungerade wird.
Damit gehört das Zeichen aber nicht mehr zum Zeichenvorrat der Quelle und ist damit auch
als falsches Zeichen erkannt. Dieser Abstand zwischen zwei Codewörtern (im obigen Beispiel
2 Bit) wird als Hamming-Distanz d bezeichnet. Die Hamming-Distanz ist ein zur Bestimmung
der Korrekturmöglichkeiten eines Codes wichtiger Begriff [87].
Verständnisfrage 42 Statt des Verdopplungscodes in § 1045 wird ein Wiederholungscode
eingeführt, in dem jedes bit dreimal transmittiert wird, d.h. 0 → 000 und 1 → 111. Lassen sich
auf diese Weise Fehler erkennen und korrigieren? Hängt eine oder beide Möglichkeiten von der
Wahrscheinlichkeit p ein Bit zu klappen ab? Und wenn ja, sind beide Wahrscheinlichkeiten
identisch oder nicht, und wie groß sind sie jeweils?
§ 1047 Um diese Begriffe für Hamming-Distanz und Korrekturfähigkeit quantitativ etwas
besser erfassen zu können, betrachten wir den in Abb. 6.20 dargestellten symmetrischen
Binärkanal: der symmetrische Binärkanal verfälscht jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
p eine 0 in eine 1 oder eine 1 in eine 0, die Verfälschung wirkt so, dass aus einem
Binärzeichen stets wieder ein Binärzeichen wird und kein Zeichen verloren geht oder dazu
2. Juli 2008 c○ M.-B. Kallenrode