Erdfernerkundung - Numerische Physik: Modellierung

2.6. EINBRINGEN DES SATELLITEN IN SEINE BAHN 59
Abbildung 2.25: Raketenstart; numerische
Lösung für die erste Stufe
einer Saturn V für verschiedene
Näherungen: (schwarz) mit Reibungskraft
und höhenabhängiger Gravitationskraft,
(rot) ohne Reibungskraft,
mit konstanter Gravitation, (blau) ohne
Reibung und ohne Gravitation
Der äußere Wirkungsgrad gibt den Bruchteil der in den ausströmenden Raketengasen steckenden
Energie, der in kinetische Energie der Rakete umgewandelt werden kann. Der äußere
Wirkungsgrad ist Null, wenn die Rakete auf dem Prüfstand festgehalten wird; er würde eins,
wenn in jeder Flugphase die Ausströmgeschwindigkeit ihrem Betrage nach gleich der momentanen
Fluggeschwindigkeit v der Rakete wäre. In diesem Fall würde sich der Gasstrahl
bezüglich eines raumfesten Systems in Ruhe befinden.
§ 187 Im realen Fall ist der Wirkungsgrad geringer, ein Teil der Energie steckt in der
Geschwindigkeit, mit der die Rückstoßgase durch den Raum fliegen. Für konstante Ausströmgeschwindigkeit
können wir die Raketenformel (2.27) einsetzen und erhalten für den
äußeren Wirkungsgrad
ηA =
(vB/v0) 2
exp(vB/v0) − 1 =
�
� 2
ln m0
mB
.
m0 − 1 mB
Tabelle 2.5 fasst die äußeren Wirkungsgrade für verschiedene Geschwindigkeits- bzw. Massenverhältnisse
zusammen. Der optimale Wirkungsgrad von 0.647 ergibt sich für ein Massenverhältnis
von 4.93 (vernünftige Annahme) und ein Geschwindigkeitsverhältnis von 1.594.
Luftleer, aber Gravitation
§ 188 Die Rakete im luftleeren und gravitationsfreien Raum kann vielleicht als Annäherung
für Booster bei der Durchführung von Bahnmanövern betrachtet werden, die eigentliche
Anwendung einer Rakete, den Start vom Erdboden aus, beschreibt sie jedoch nicht. Um
diesen zu beschreiben müssen wir in der Bewegungsgleichung zusätzlich zur Schubkraft die
Gravitation berücksichtigen und erhalten mit (2.26)
F = v0β − g(h)
für den senkrechten Start; beim schiefen Schuss muss die Betrachtung vektoriell durchgeführt
werden. Integration liefert (für konstantes v0 und unter Vernachlässigung der Höhenabhängigkeit
von g)
∆v = v0 ln m0
mB
− gtB
wobei sich die Zeit tB aus der Masse des Treibstoffs und der Ausströmrate bestimmen lässt.
§ 189 Abbildung 2.25 erlaubt den Vergleich der verschiedenen Näherungen mit Hilfe der
numerischen Lösung von (2.24) für die erste Stufe einer Saturn V Rakete [22]. Die schwarze
Kurve gibt die vollständige Lösung (Reibung und höhenabhängige Gravitationskraft): bei
c○ M.-B. Kallenrode 2. Juli 2008