Erdfernerkundung - Numerische Physik: Modellierung

318 KAPITEL 6. KOMMUNIKATION
Abbildung 6.23: Graphische Decodierung
(Syndrom-Decodierung) des Hamming(7,4)
Codes; zur Erklärung siehe
Text
Die Generator-Matrix für das Beispiel in Tabelle 6.7 ist
G T ⎡
1 0 0
⎤
0
⎢ 0
⎢ 0
⎢
= ⎢ 0
⎢ 1
⎣
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0 ⎥
0 ⎥
1 ⎥ ,
⎥
0 ⎥
⎦
1
(6.13)
1 0 1 1
wobei �s und �t als Spaltenvektoren angenommen wurden. Bei der Codierung ist Modulo-2
Arithmetik zu berücksichtigen: 1+1=0, 0+1=1 usw.
Verständnisfrage 45 Eine Summe von zwei Codewörtern in Tabelle 6.7 gibt wieder ein
Codewort des Hamming(7,4)-Codes. Zufall oder gibt es eine Begründung?
Decodierung
§ 1061 Die Decodierung �t → �s ist weniger gradlinig. In einem perfekten Übertragungskanal
ließe sich diese Decodierung durch Matrixinversion realisieren – aber in einem perfekten
Übertragungskanal benötigen wir überhaupt keine Kanalkodierung. Das Problem der Decodierung
liegt daran, dass (a) im Prinzip jedes, auch eines der Paritätsbits geklappt sein kann
und (b) wir nicht einmal wissen, wie viele Bits in einem transmittierten Fragment �t geklappt
sind.
Verständnisfrage 46 Macht die Matrixinversion trotzdem Sinn?
§ 1062 Wir betrachten jetzt einen symmetrischen Binärkanal, in dem alle Quellvektoren
�s mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Dann identifiziert der optimale Decoder alle
Quellvektoren �s, deren Codierung �t(�s) vom empfangenen Code �r in der geringsten Zahl von
Bits abweicht. Ein nicht sehr eleganter (aber ohne intellektuellen Aufwand begehbarer) Weg
besteht darin, den Abstand von �r zu allen 16 �ti in Tabelle 6.7 zu bestimmen und anschließend
das Codewort mit dem kleinsten Abstand auszuwählen.
§ 1063 Eine graphische Form der Decodierung lässt sich in Anlehnung an die in Abb. 6.22
gezeigte Codierung entwickeln. Dazu tragen wir den empfangenen Code �r in die drei Kreise
in wie in Abb. 6.23(a) gezeigt. Zur Erläuterung des Prinzips nehmen wir jetzt an, dass im
transmittiereten Codes �t = 1000101 das zweite Bit geklappt wurde, so dass �tE = 1100101
empfangen wurde. Diese Sequenz tragen wir in die Kreise ein (Abb. 6.23(b)). In den gestrichelten
Kreisen ist die Parität nicht erhalten. Da wir annehmen, dass möglichst wenige Bits
gekippt sind, müssen wir jetzt ein Verfahren finden, wie wir die Parität wieder herstellen
2. Juli 2008 c○ M.-B. Kallenrode