Erdfernerkundung - Numerische Physik: Modellierung

64 KAPITEL 2. SATELLITENBAHNEN
Abbildung 2.26: Hohmann-Bahn als
Übergangsellipse zwischen zwei kreisförmigen
Orbits
Einschwenken in eine Umlaufbahn um diesen Planeten, so dass die Anziehungskraft der Planeten
vernachlässigt werden kann und nur die Sonne der Zentralkörper ist). Zusätzlich wird
angenommen, dass es sich um kreisförmige Bahnen handelt, die alle in einer Ebene liegen:
für Bahnen zwischen den Planeten stellt dies keine bedeutende Einschränkung dar. Um einen
Satelliten aus dieser Ebene zu katapultieren, bedarf es jedoch eines größeren Aufwands – bei
Ulysses z.B. durch ein Swing-By Manöver am Jupiter realisiert (siehe auch Abb. 2.33).
§ 205 Eine Möglichkeit des Überganges zwischen zwei kreisförmigen Bahnen mit den Radien
r1 und r2 ist eine elliptische Trajektorie, vgl. Abb. 2.26. Diese Übergangsellipse wird als
Hohmann-Ellipse oder Hohmann-Bahn bezeichnet. Ihre große Halbachse a ergibt sich zu
a = 1
2 (r1 + r2), da die Bahn in ihrem Perihel bzw. Perigäum die innere, in ihrem Aphel bzw.
Apogäum die äußere Kreisbahn berührt. Nach der Binet’schen Gleichung (2.17) ergibt sich
dann für jeden Punkt der Bahn die Geschwindigkeit zu
v 2 �
1
= 2µ ·
r −
�
1
.
r1 + r2
Damit lassen sich die Geschwindigkeiten im Perihel r1 und Aphel r2 bestimmen zu
� �
µ 2
vP =
r1/r2 + 1
r1
� �
µ 2
und vA =
.
r2 1 + r1/r2
§ 206 Erfolgt der Start nun von der inneren Kreisbahn aus in Richtung der Umlaufbewegung
des Raumfahrzeuges, so hat der Körper bereits vor dem Start eine Geschwindigkeit,
die der Kreisbahngeschwindigkeit vK1 = � µ/r1 auf diesem Orbit entspricht. Zum Übergang
auf die Hohmann-Bahn ist dann eine Geschwindigkeitsänderung ∆v1 = v1 − vK1 erforderlich,
wobei gemäß der Definition der Bahn ∆v1 tangential zur Kreisbahn ist. Die Geschwindigkeitsänderung
durch das Feuern der Schubdüsen erfolge instantan, d.h. in einer Zeit, die klein
gegenüber der Umlaufzeit ist. Dann erhält man die Geschwindigkeitsänderung zu
� ��
�
µ 2
∆v1 =
− 1 .
r1/r2 + 1
r1
§ 207 Mit diesem Geschwindigkeitszuwachs kann das Raumfahrzeug die elliptische Bahn bis
zur Kreisbahn mit r2 durchlaufen. Da seine Geschwindigkeit an diesem Punkt kleiner ist
als die Kreisbahngeschwindigkeit beim Radius r2, würde das Raumfahrzeug auf der zweiten
Hälfte der Ellipse wieder nach innen laufen. Daher muss in diesem Punkt nochmals ein
Geschwindigkeitszuwachs erreicht werden, der gegeben ist durch
� � � �
µ
2
∆v2 = 1 −
.
r2 1 + r1/r2
2. Juli 2008 c○ M.-B. Kallenrode