Erdfernerkundung - Numerische Physik: Modellierung

6.4. KANALCODIERUNG 319
können mit einer minimalen Zahl von zu klappenden Bits. Offenbar liefert Klappen des mit
einem Stern gekennzeichnete Element r2 das gewünschte Resultat.
§ 1064 Dieses Verfahren wird auch als Syndrom Decodierung bezeichnet. Dabei ist das Syndrom
das Muster der Kreise, in denen die Parität verletzt wurde. Dieses Syndrom lässt sich
auch als Vektor schreiben; im Fall von Abb. 6.23(b) ist das Syndrom �z = (1, 1, 0), da in den
ersten beiden Kreisen die Parität verletzt wurde, im dritten jedoch nicht. Die Aufgabe der
Decodierung lässt sich mit Hilfe des Syndroms auch so beschreiben: gibt es in einer gegebenen
Sequenz ein eindeutig zu identifizierendes Bit, dessen Kippen alle Elemente von �z identisch
Null werden lässt? Das geklappte zweite Bit in Abb. 6.23(b) erfüllt diese Anforderung.
§ 1065 Abbildung 6.23(c) und (d) geben zwei weitere Beispiele für ein einzelnes geklapptes
Bit. In Abb. 6.23(c) wurde das erste Paritätsbit t5 gekippt. Damit ist nur in einem Kreis
die Parität verletzt und die einzige Möglichkeit, durch Klappen eines einzigen Bits in allen
drei Kreisen die Parität wieder herzustellen, ist das Klappen von r5. Damit ist der Fehler
korrigiert. In Abb. 6.23(d) wurde das dritte Bit des Quellsignals und damit auch das dritte
Bit des transmittierten Signal geklappt. Dadurch ist die Parität in allen drei Kreisen verletzt.
Dürfen wir nur ein Bit klappen um die Parität in allen drei Kreisen wieder herzustellen, so
muss r3 geklappt werden. Auch hier ist die Korrektur geglückt.
§ 1066 Gehen wir alle möglichen einfachen Bitfehler durch, so lässt sich zu jedem der dabei
entstehenden Syndrome eindeutig angeben, welches Bit (zurück) zu klappen ist:
Syndrom �z 000 001 010 011 100 101 110 111
klappe Bit keins r7 r6 r4 r5 r1 r2 r3
In einem symmetrischen Binärkanal mit geringem Rauschen (kleinem p) klappt der optimale
Decoder also maximal ein Bit.
§ 1067 Funktioniert dieses Verfahren auch bei zwei geklappten Bits? In Abb. 6.23(e) sind die
beiden Bits r3 und r7 geklappt. Als Syndrom ergibt sich dabei das bereits aus Abb. 6.23(b)
bekannte �z = (1, 1, 0). Damit würden wir den gleichen Decodier-Algorithmus anwenden und
r2 klappen (Abb. 6.23(e’)): damit hat unsere Korrektur aus zwei Fehlern drei gemacht. Da
jede Variante von zwei Bitfehlern auf ein aus § 1066 bekanntes Syndrom führt, macht unser
optimaler Decoder daraus ein Signal mit drei Bitfehlern. Damit geht nicht nur die Korrekturfähigkeit
des Codes verloren sondern die Fehlkorrektur sabotiert sogar die Fehlererkennung.
Verständnisfrage 47 Ist das ein großes Problem? Oder gibt es ein Eigenschaften des Übertragungskanals,
die dies zu einem Pseudo- bzw. einem großen Problem machen?
§ 1068 Auch für die Decodierung können wir statt des graphischen Verfahrens eine Matrix-
Schreibweise einführen. dazu zerlegen wir den empfangenen Code in die Quellbits r1r2r3r4
und die Paritätsbits r5r6r7. Zu den Quellbits lassen sich jeweils mit dem Algorithmus aus
§ 1060 die zugehörigen Paritätsbits bestimmen und mit den empfangenen vergleichen: die
Differenz zwischen beiden gibt das Syndrom �z. Die zugehörige Korrektur ist bereits in § 1066
gegeben.
§ 1069 Das Verfahren lässt sich etwas kompakter darstellen, wenn wir die Generator-Matrix
(6.13) in zwei Teile zerlegen:
G T � �
I4
= .
P
Darin ist I4 die 4 × 4-Einheitsmatrix und P eine 3 × 4-Matrix. Mit Hilfe der daraus konstruierten
Paritätsmatrix H = [−P I3] lässt sich das Syndrom bestimmen als �z = H�r. Explizit ist
die Paritätsmatrix gegeben als
⎡
1 1 1 0 1 0
H = ⎣ 0 1 1 1 0 1
⎤
0
0 ⎦ .
1 0 1 1 0 0 1
c○ M.-B. Kallenrode 2. Juli 2008