Erdfernerkundung - Numerische Physik: Modellierung

72 KAPITEL 2. SATELLITENBAHNEN
Abbildung 2.30: Lagrange Punkte im Sonne–Erde und Erde–Mond System [134]
Diese fünf Punkte sind in Abb. 2.29 im rotierenden Bezugssystem dargestellt; eine entsprechende
Abbildung mit den Zahlenwerten für das System Sonne–Erde sowie das System Erde–
Mond findet sich in Abb. 2.30.
§ 234 Um die Form der Zero-Velocity-Kurven mit W (x, y)=const zu bestimmen, ist es
nützlich, die Werte von W an den fünf stationären Punkten Li zu bestimmen zusammen
mit dem topologischen Charakter dieser Punkte. Das kann durch die Bestimmung der zweiten
Ableitung von W und die Bestimmung des Vorzeichens der Jacobi-Determinante J =
(∂xxW )(∂yyW ) − (∂xyW ) 2 an den Lagrange-Punkten geschehen. Dabei ergibt sich W (L5) =
W (L4) > W (L3) > W (L1) > W (L2). Dabei sind L4 und L5 Maxima, die anderen Lagrange-
Punkte dagegen sind Sattelpunkte, siehe auch Abb. 2.29. Damit lassen sich die Zero-Velocity-
Kurven eindeutig definieren, wenn wir die Jacobi-Konstante von sehr großen negativen Werten
(z.B. die schon weiter oben diskutierten Grenzen) durch die kritischen Werte ansteigen
lassen. Qualitativ ergeben sich dabei fünf Möglichkeiten:
I C < W (L2): Die Bewegung ist nur innerhalb zweier kleiner Kreise um die beiden massiven
Körper erlaubt, oder außerhalb eines großen Kreises, der beide massiven Körper umfasst.
In diesem Falle kann die Testmasse als ein Satellit der beiden massiven Körper (die von
der Testmasse nur als ein Gravitationszentrum gesehen werden) betrachtet werden.
II W (L1) > C > W (L2): Zwischen den beiden erlaubten Regionen um die beiden massiven
Körper öffnet sich ein Kanal. Der Testkörper kann sich, wenn er sich einmal in der Nähe
der beiden massiven Körper befindet, nicht aus deren Nähe entfernen. In diesem Bild
können Satelliten zwischen den beiden Körpern ausgetauscht werden, der Testkörper
kann aber das System nicht verlassen. Eine entsprechende Beschreibung wäre z.B. auch
für die Materie in einem Doppelsternsystem angemessen. Diese Topologie erklärt auch,
warum die meisten Trajektorien zwischen Erde und Mond die Form einer 8 annehmen,
wobei der Schnittpunkt in der Nähe von L2 liegt.
III W (L3) > C > W (L1): Der erlaubte Bereich öffnet sich hinter der kleineren Masse und der
Testkörper kann durch dieses Loch entweder von der schwereren Masse entweichen oder,
wenn er sich ursprünglich im äußeren Bereich befunden hat, in die Nähe der schwereren
Masse vordringen. Der verbotene Bereich hat ungefähr die Form eines Hufeisens, die L4
und L5 liegen in der Nähe der Spitzen, L3 liegt innerhalb des Hufeisens.
2. Juli 2008 c○ M.-B. Kallenrode