Erdfernerkundung - Numerische Physik: Modellierung

26 KAPITEL 2. SATELLITENBAHNEN
Summe µ der Massen der beiden Körper. Für einen Planeten und sein Zentralgestirn bzw.
einen Satelliten und seinen Planeten ist die Gesamtmasse µ jedoch praktisch mit der des
Zentralkörpers identisch, 4 so dass die vereinfachende Vorstellung, dass der Satellit vom Planeten
angezogen und auf seine Umlaufbahn gezwungen wird, für praktische Anwendungen
ausreichend ist.
2.2.2 Satellitenbahnen und Erhaltungsgrößen
§ 77 Die formale Herleitung von Planeten- bzw. Satellitenbahnen finden Sie in Lehrbüchern
zur theoretischen Physik, z.B. [73, 79], oder in Büchern zur Bahn- bzw. Himmelsmechanik,
z.B. [17, 26, 210, 213]. An dieser Stelle wird nur der generelle Weg der Herleitung skizziert, um
den Zusammenhang zwischen Eigenschaften der Bahn und den Erhaltungsgrößen noch einmal
zu rekapitulieren – schließlich sind das die Größen, auf die wir auch bei der argumentativen
Behandlung von Bahnen und Bahnstörungen zurück greifen.
Energieerhaltung (1. Integral der Bewegung)
§ 78 Aus der Bewegungsgleichung (2.5) lässt sich durch Multiplikation mit 2˙ �r das Energieintegral
herleiten. Aus 2˙ �r ¨ �r = −2µ/r3 �r ˙ �r lässt sich durch Zusammenfassen des Produkts
aus einer Größe und ihrer Ableitung die Ableitung der quadrierten Größe5 bilden, d.h. wir
erhalten ˙ �v 2 = −µ/r3 ( ˙ �r) 2 . Integration liefert das Energieintegral
v 2 − 2µ
r
= hc
(2.6)
mit hc als der auch als Energiekonstante bezeichneten Integrationskonstanten. Diese ist mit
den Anfangswerten v0 und r0 verknüpft gemäß hc = v 2 0 − 2µ/r0; sie ist der Gesamtenergie
E0 proportional: E0 = 1
2 mhc.
Momentintegral (Drehimpulserhaltung)
§ 79 Das Momentintegral, und damit der Flächensatz, lässt sich durch vektorielle Multiplikation
der Bewegungsgleichung (2.5) mit �r herleiten:
�r × ¨ �r = − µ
�r × �r . (2.7)
r3 Die rechte Seite der Gleichung verschwindet. Dann ist auch �r × ¨ �r = 0, d.h. die Kraft ist
eine Zentralkraft und die Bewegung erfolgt in einer Ebene. Gleichung (2.7) lässt sich unter
Berücksichtigung der Kettenregel schreiben als d(�r × �v)/dt = 0. Integration liefert das
Momentintegral (Drehimpulserhaltung)
�r × �v = �σc
mit �σc als einer Integrationskonstante.
§ 80 Skalare Multiplikation mit �r liefert die Gleichung der Bahnebene
(2.8)
�r�σc = 0 , (2.9)
d.h. σc steht senkrecht auf der Bahnebene.
4Die Masse der Sonne ist um mehr als 5 Größenordnungen größer als die der Erde, vgl. Abschn. 8.2, die
Masse der Erde ist um ca. 21 Größenordnungen größer als die eines großen Erdfernerkundungssatelliten.
5Dies können Sie durch Anwendung der Kettenregel auf das Ergebnis leicht einsehen. Das Produkt 2�r ˙�r ¨
lässt sich schreiben als ˙ �v 2 , da gilt ˙ �v 2 = 2�v ˙ �v = 2˙ �r ¨ �r.
2. Juli 2008 c○ M.-B. Kallenrode