Erdfernerkundung - Numerische Physik: Modellierung

62 KAPITEL 2. SATELLITENBAHNEN
gleich sind: v01 = v02. Dann ergibt sich
vB2 = vo ln (mT1 + mR1 + mT2 + mR2) (mT2 + mR2)
(mR1 + mT2 + mR2) mR2
Erweitert man den Bruch im Logarithmus mit (mR1+mR2), so ergibt sich nach Ausklammern,
Ausmultiplizieren und Umformen
vB2 = v0 ln m1 + m2
(mR1 + mR2) + v0
�
�
mR1 mR2
ln 1 +
. (2.31)
mR2 (mR1 + mR2 + mT2)
Dabei stellt der erste Term auf der rechten Seite die Endgeschwindigkeit dar, die man nach
der Raketenformel (2.27) für eine einstufige Rakete mit derselben Startmasse m1+m2 und
derselben Treibstoffmasse mT1+mT2 wie das gesamte Zweistufenaggregat erhalten hätte. Der
zweite Term stellt den Geschwindigkeitsgewinn durch die Verwendung einer zweiten Stufe dar,
dieser Term ist stets positiv.
§ 199 Setzt man insgesamt n Stufen aufeinander und trennt jeweils die unterste Stufe nach
Brennschluss ab, so ergibt sich für die Endgeschwindigkeit der letzten Stufe einschließlich
der Nutzlast: vB = � ∆vi. Für alle Raketenstufen gilt die Raketenformel (2.27). Unter der
Voraussetzung, dass die Ausströmgeschwindigkeit v0 für alle Stufen gleich ist, ergibt sich
�
m01 m02
vB = v0 ln
mB1 mB2
. . . m0n
mBn
�
.
mit den Größen m0i und mBi als den Gesamtmassen vor Zünden bzw. nach Brennschluss der
i-ten Stufe, gegeben durch
n�
m01 = mN +
mB1 = mN +
m02 = mN +
i=2
n�
i=2
n�
i=3
. . . . . . .
mBn = mN + mRn .
(mRi + mTi) + (mR1 + mT1),
(mRi + mTi) + mR1,
(mRi + mTi) + (mR2 + mT2),
Dabei ist mN die Masse der Nutzlast. Die aus diesen Massen gebildete, als Argument im
Logarithmus von (2.31) auftretende Produktkette
n�
� �
M0 m0i
=
MB
i=1
mBi
wird als das totale Massenverhältnis bezeichnet. Dann lässt sich (2.31) analog zur Raketenformel
(2.27) auch in der Form
schreiben.
vB = v0 ln M0
MB
§ 200 Die Raketengleichung (2.27) erlaubt nur eine ungefähre Abschätzung der Geschwindigkeit
bei Brennschluss der Rakete. In der Realität müssen die Reibung in der Erdatmosphäre
und die (mit der Höhe abnehmende) Gravitationskraft berücksichtigt werden – und diese
Einflüsse sind, wie in Abb. 2.25 zu erkennen, nicht gering.
§ 201 Allerdings gibt es auch eine natürliche Starthilfe: die Bewegung des Startplatzes verschafft
der Rakete in einem raumfesten System bereits eine Anfangsgeschwindigkeit. Für
planetare Missionen ist die Starthilfe die Rotation der Erde um die Sonne. Die Umlaufgeschwindigkeit
beträgt vU=29.8 km/s, die am Ort der Erde benötigte Entweichgeschwindigkeit
2. Juli 2008 c○ M.-B. Kallenrode
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