Erdfernerkundung - Numerische Physik: Modellierung

76 KAPITEL 2. SATELLITENBAHNEN
3. Die heliozentrische Geschwindgkeit der Raumsonde nach der Wechselwirkung ist dagegen
gegeben durch �v ′ 2 = �v1 +�v ′ rel . Die Raumsonde hat also nach der Wechselwirkung mit dem
Planeten eine höhere Geschwindigkeit.
§ 246 Formal kann man den Vorgang als einen elastischen Stoß zwischen dem Raumfahrzeug
und dem Planeten beschreiben oder als einen Streuprozess zwischen Sonde und Planet, wobei
das Gravitationsfeld des Planeten die Ursache der Streuung ist. Dieser Streuvorgang ist durch
die Einschussgeschwindigkeit v∞ und den Stoßparameter b gekennzeichnet. Dadurch wird der
Ablenkwinkel θ gegenüber der ursprünglichen Richtung �v∞ festgelegt. Der Energiesatz für
die Hyperbel war gegeben durch die Binet’sche Gleichung (2.17) zu
v 2 � �
2 1
= µ + .
r a
Die beiden Extremgeschwindigkeiten im Unendlichen bzw. im Perizentrum sind damit gegeben
durch
v 2 rel = v ′2
rel = µ
a
bzw. v 2 �
2
Pz = µ + 1
�
.
a
rPz
§ 247 Aus der Drehimpulserhaltung ergibt sich mit vPz als der Geschwindigkeit im Perizentrum
σ = � µa(ɛ 2 − 1) = rPz vPz. Aus der Hyperbelgeometrie lässt sich über
cos (180◦ − θ)
2
=
a
� a 2 + a 2 (ɛ 2 − 1)
der Ablenkwinkel bestimmen zu
sin θ 1
=
2 ɛ .
Durch Einsetzten in den Drehimpulssatz wird
r 2 Pz v 2 Pz = µa(ɛ 2 − 1) = r 2 �
2
Pz µ + v2 �
rel
µ
rPz
und es ist
�
b
= sin 90
aɛ ◦ − θ
�
=
2
� 1 − 1/ɛ2 .
Damit lassen sich der Ablenkwinkel und der Stoßparameter bestimmen zu
sin θ
2 =
1
1 + rpzv2 �
und b = rPz 1 +
rel
µ
2µ
rPzv2 .
rel
Bei sehr weitem (großes rPz) und/oder sehr schnellem Vorbeiflug erfolgt also kaum eine
Ablenkung. Andererseits wird die Ablenkung um so größer, je dichter die Raumsonde an
den Planeten kommt, d.h. je kleiner rPz wird. Damit lässt sich eine maximale Ablenkung
bestimmen, da die geringste Annäherung durch den Planetenradius bestimmt ist (es kann
also in keinem Falle eine Ablenkung um 180 ◦ erfolgen). Je massereicher der Planet ist, umso
näher kann man diesem Wert kommen. Der Stoßparameter b gibt an, wohin die Raumsonde
gelenkt werden muss, um bei vorgegebenem rPz und vrel die gewünschte Ablenkung θ zu
erreichen.
Verständnisfrage 21 Warum ergibt sich bei einem schnelleren Vorbeiflug eine geringere
Ablenkung? Bei der Bethe–Bloch-Formel (5.2) ist es genauso. Mit der gleichen Begründung?
§ 248 Außer bei den Voyager- [476] und Pioneer-Sonden [499] wurde diese Technik des Swing
By unter anderem auch bei Mariner 10 [50] zum Besuch von Venus und Merkur angewendet;
bei Ulysses [474], um wie in Abb. 2.33 angedeutet aus der Ebene der Ekliptik zu gelangen
(Ausnutzung des Gravitationspotentials vom Jupiter – Jupiter ist für solche Manöver sehr
2. Juli 2008 c○ M.-B. Kallenrode