Erdfernerkundung - Numerische Physik: Modellierung

28 KAPITEL 2. SATELLITENBAHNEN
Tabelle 2.1: Kegelschnitte Kreis Ellipse Parabel Hyperbel
Exzentrizität ε 0 0 < ε < 1 1 > 1
Bahnparameter p a a(1 − ε 2 ) p a(ε 2 − 1)
Große Halbachse a
Kleine Halbachse b
a
a
a
a
– a
√ 1 − ε2 – a √ ε2 − 1
Perigäum rP
Apogäum rA
a
a
a(1 − ε)
a(1 + ε)
1
p = q 2
∞
a(ε − 1)
∞
Kegelschnitte
§ 86 Die Bahngleichung (2.14) beschreibt Kegelschnitte, wobei die Exzentrizität (2.15) die
Art des Kegelschnitts gibt (vgl. auch Tabelle 2.1):
0 ≤ ε < 1: der Nenner in der Bahngleichung (2.14) ist immer von Null verschieden, so dass
sich eine geschlossene, im endlichen verlaufende Ellipsenbahn ergibt.
ε = 1: der Nenner der Bahngleichung (2.14) verschwindet für τ = π, d.h. die Bahn hat einen
Punkt im Unendlichen (Parabel).
ε > 1: der Nenner der Bahngleichung (2.14) verschwindet für zwei Werte, d.h. die Bahn hat
zwei Punkte im Unendlichen (Hyperbel).
Die realisierte Bahn hängt von den Anfangsbedingungen ab. Einsetzen der Beziehung (2.12)
in die Definition (2.15) liefert
�
ε =
1 + hc
σ2 c
µ 2
mit der Energiekonstanten hc gemäß (2.6) bzw. bei Verwendung der Anfangsbedingungen
hc = v 2 0 − 2µ/r0.
§ 87 Bei der Ellipsenbahn ist ε < 1 und damit hc < 0, d.h. die Bahn ist eine gebundene.
Die elliptische Anfangsgeschwindigkeit wird damit zu v 2 0 < 2µ/r0. Entsprechend ergibt sich
mit ε = 1 und damit hc = 0 die parabolische Anfangsgeschwindigkeit zu v 2 0 = 2µ/r0. Eine
hyperbolische Anfangsgeschwindigkeit ergibt sich für ε > 1 und damit hc = −µ 2 /σ 2 zu
v 2 0 = 2µ/r0 − µ 2 /σ 2 c .
§ 88 Ein Spezialfall der Ellipsenbahn ist die Kreisbahn mit ε = 0 und damit σ2 c = pµ mit
p = r0 und v0 = const. Die Kreisbahngeschwindigkeit oder erste kosmische Geschwindigkeit
ist dann v2 k = µ/r. Sie ist gerade ausreichend damit ein Satellit um einen sphärischen
Himmelskörper entlang eines Großkreises fliegen kann. 6 Für die Erde ist vk = 7.9 km/s.
2.2.3 Ellipsenbahnen
§ 89 Planeten und Satelliten bewegen sich in der Regel auf Ellipsenbahnen oder deren Spezialfall,
der Kreisbahn. Eine Ellipse wird durch ihre große und kleine Halbachse, a und b,
beschrieben, vgl. Abb. 2.3. Im Spezialfall des Kreises ist a = b = r. Die Punkte A und P
markieren das Apo- und das Perizentrum, d.h. den Punkt der Bahn am weitesten vom Zentralkörper
entfernt bzw. diesem am nächsten. Bei der Erde werden diese als Apogäum und
Perigäum bezeichnet, bei der Sonne als Aphel und Perihel. Die Abstände dieser Punkte vom
Zentralkörper sind durch die Exzentrizität ε und den Bahnparameter p bestimmt:
rP = p
und rA =
1 + ε
p
1 − ε .
Die Achse zwischen Apo- und Perizentrum wird als Apsidenlinie bezeichnet.
6 Ein Großkreis ist ein Kreis auf einer Kugel, bei dem der Kugelmittelpunkt in der Kreisebene liegt.
Die Äquatorebene der Erde wäre ein Beispiel, ebenso alle Kreisbahnen entlang eines festen Längengrades.
Entsprechend ist die Bahn entlang des 50 ten Breitengrades keine Großkreisbahn, da die Bahnebene nicht
durch den Erdmittelpunkt geht – als antriebslose Satellitenbahn wäre eine derartige Bahn nicht realisierbar
(also doch kein billiger geostationärer Satellit über Moskau).
2. Juli 2008 c○ M.-B. Kallenrode