R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
die als Differenz der kinetischen und potentiellen Energie definiert ist, die Lagrange-Gleichungen
2. Art zu
� �
d ∂L
−
dt ∂ ˙qj
∂L
= 0 ,
∂qj
j = 1, . . . , s . (3.96)
Die Lagrange-Gleichungen 2. Art (3.96) sind aus mehreren Gründen die bevorzugten Gleichungen
zur Lösung mechanischer Probleme:
1. Im Vergleich zu den Lagrange-Gleichungen 1. Art haben wir es nur mit s = 3N − k
anstatt 3N + k Gleichungen zu tun. Wir verzichten dabei auf die Berechnung der
Zwangskräfte.
2. Für komplexe Systeme lässt sich die Lagrange-Funktion (3.95) viel einfacher aufstellen
als alle Kraftterme.
3. Die Lagrange-Funktion ist im Allgemeinen eine besonders einfache Funktion der in
Frage kommenden Variablen. Dies ist auch wichtig für die Entwicklung neuer physikalischer
Theorien insbesondere in der Feldtheorie.
4. Die Lagrange-Funktion ist im Gegensatz zu den vektoriellen Kräften eine skalare Größe
und deshalb bei Koordinatentransformationen eine invariante Größe.
Wir behandeln später die Konsequenzen für die allgemeinen Lagrange-Gleichungen 2. Art
(3.91) bei Vorliegen von geschwindigkeitsabhängigen Kräften und/oder nicht-holonomen
Zwangsbedingungen, wenn also die Voraussetzungen zur Ableitung der Gleichungen (3.96)
anders sind.
3.8 Einfache Anwendungen
3.8.1 Kräftefreie Bewegung
Im Fall der kräftefreien Bewegung (V = 0) verwenden wir die natürlichen auch als verallgemeinerte
Koordinaten. Die Lagrange-Funktion ist dann durch
gegeben. Mit
∂L
∂ ˙x
L = T = 1
2 m � ˙x 2 + ˙y 2 + ˙z 2�
= m ˙x ,
∂L
∂ ˙y
folgen für die drei Lagrange-Gleichungen (3.96)
d ∂L ∂L
− = m¨x = 0 ,
dt ∂ ˙x ∂x
= m ˙y ,
∂L
∂ ˙z
d ∂L ∂L
− = m¨y = 0 ,
dt ∂ ˙y ∂y
deren Lösungen die gleichförmige Bewegung ergibt.
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= m ˙z
d ∂L ∂L
− = m¨z = 0 ,
dt ∂ ˙z ∂z