R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

1. auf eine skalare Funktion T (�r): � ∇T (�r) (“Gradient”),
1.9 Vektorielle Differentialoperatoren
2. auf eine Vektorfunktion � A über das Skalarprodukt: � ∇ · � A (“Divergenz”),
3. auf eine Vektorfunktion � A über das Kreuzprodukt: � ∇ × � A (“Rotation”).
Der Gradient wurde bereits ausführlich diskutiert, so dass wir nun die Divergenz und die
Rotation näher untersuchen.
1.9.3 Divergenz
Sei das Vektorfeld � A = (Ax, Ay, Az) = (A1, A2, A3) gegeben.
Definition Divergenz: Als div � A bezeichnet man das Skalarprodukt zwischen dem Nabla-
Operator und dem Vektor � A:
div � A ≡ � ∇ · � A =
3� ∂
Ai =
∂xi
Es folgt sofort mit Gleichung (1.95), dass man den Laplace-Operator als
i=1
3� ∂Ai
. (1.98)
∂xi
i=1
∆ = div grad = div � ∇ (1.99)
darstellen kann.
Physikalisch interpretieren kann man die Divergenz eines Vektorfeldes als den Fluss eines
Vektorfeldes durch ein Volumenelement dV . � A = (A1, A2, A3) repräsentiere die Flussrate
(pro Einheitsfläche) einer Strömung durch eine Seitenfläche (siehe Abb. 1.15).
A i
1
A
dx 1
dx 2
dx 3
Abbildung 1.15: Zur physikalischen Deutung der Divergenz
Wir betrachten die Flussrate in x1-Richtung durch den infinitesimal kleinen Quader mit den
Seitenlängen dx1,dx2 und dx3, die gegeben ist aus dem Produkt aus A1 und der Seitenfläche
dx2dx3. Am Ort x1 ist die Flussrate gleich A1dx2dx3 und am Ort x1 + dx1 gleich
�
A1 + ∂A1
�
dx1 dx2dx3 .
∂x1
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