R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
Wir bestimmen jetzt die zwei Lagrange-Gleichungen
und
Mit
und
∂L
∂θ1
∂L
∂ ˙ θ1
d ∂L
dt ∂ ˙ θ1
d ∂L
dt ∂ ˙ θ1
d ∂L
dt ∂ ˙ θ2
− ∂L
∂θ1
− ∂L
∂θ2
= 0 (3.112)
= 0 . (3.113)
= −m2l1l2 ˙ θ1 ˙ θ2 sin (θ1 − θ2) − m1l1g sin θ1 − m2l1g sin θ1 ,
= m1l 2 1 ˙ θ1 + m2l 2 1 ˙ θ1 + m2l1l2 ˙ θ2 cos (θ1 − θ2)
= m1l 2 1 ¨ θ1 + m2l 2 1 ¨ θ1 + m2l1l2 ¨ θ2 cos (θ1 − θ2)
−m2l1l2 ˙ �
θ2 [sin (θ1 − θ2)] ˙θ1 − ˙ �
θ2
folgt für die erste Lagrange-Gleichung (3.112)
Ebenso mit
und
(m1 + m2) l 2 1 ¨ θ1 + m2l1l2 ¨ θ2 cos (θ1 − θ2) +
m2l1l2 ˙ θ 2 2 sin (θ1 − θ2) + (m1 + m2) l1g sin θ1 = 0 . (3.114)
∂L
∂θ2
∂L
∂ ˙ θ2
d ∂L
dt ∂ ˙ θ2
= m2l1l2 ˙ θ1 ˙ θ2 sin (θ1 − θ2) − m2l2g sin θ2 ,
= m2l 2 2 ˙ θ2 + m2l1l2 ˙ θ1 cos (θ1 − θ2)
= m2l 2 2 ¨ θ2 + m2l1l2 ¨ θ1 cos (θ1 − θ2)
−m2l1l2 ˙ �
θ1 [sin (θ1 − θ2)] ˙θ1 − ˙ �
θ2
folgt für die zweite Lagrange-Gleichung (3.113)
m2l 2 2 ¨ θ2 + m2l1l2 ¨ θ1 cos (θ1 − θ2) − m2l1l2 ˙ �
θ1 [sin (θ1 − θ2)] ˙θ1 − ˙ �
θ2
−m2l1l2 ˙ θ1 ˙ θ2 sin (θ1 − θ2) + m2l2g sin θ2 = 0
also l 2 2 ¨ θ2 + l1l2 ¨ θ1 cos (θ1 − θ2) − l1l2 ˙ θ 2 1 sin (θ1 − θ2) + l2g sin θ2 = 0 . (3.115)
Für den Spezialfall gleicher Massen (m1 = m2 = m) und Aufhängelängen l1 = l2 = l
reduzieren sich die beiden Lagrange-Gleichungen (3.114)–(3.115) auf das nichtlineare System
(a) 2l ¨ θ1 + l ¨ θ2 cos (θ1 − θ2) + l ˙ θ 2 2 sin (θ1 − θ2) + 2g sin θ1 = 0
(b) l ¨ θ2 + l ¨ θ1 cos (θ1 − θ2) − l ˙ θ 2 1 sin (θ1 − θ2) + g sin θ2 = 0 , (3.116)
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