R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5 Hamilton-Mechanik
Wir suchen also eine Transformation für die Koordinaten, die es erlaubt, die Lösung so einfach
wie in Gleichung (5.46) zu formulieren:
Qj = Qj (�q, �p, t) , (5.47)
Pj = Pj (�q, �p, t) . (5.48)
Anders als früher (Kap. 3.6.3) ändert sich die Anzahl der unabhängigen Koordinaten nicht
mehr (keine neuen Zwangsbedingungen). Die einzige Bedingung an die Transformationen
(5.47)–(5.48) ist, dass sie die Form der kanonischen Bewegungsgleichungen beibehalten,
d.h.
Pj
˙ = − ∂ ¯ H
∂Qj
, (5.49)
˙Qj = ∂ ¯ H
∂Pj
. (5.50)
Allerdings kann sich die Hamilton-Funktion bei der Transformation ändern
H (�q, �p, t) → ¯ � �
H �Q, P � , t . (5.51)
Diese Transformationen heißen kanonische Transformationen, weil sie die Form der kanonischen
Gleichungen invariant lassen.
5.3.1 Erzeugende Funktion
Die Forderung, dass die Form der kanonischen Gleichungen und nicht die Hamilton-Funktion
invariant bleiben, ist darauf zurückzuführen, dass die Bewegungsgleichungen das Äquivalent
zu den Lagrange-Gleichungen sind und sich damit aus dem Hamilton-Prinzip herleiten lassen.
Das Hamilton-Prinzip der stationären Wirkung muss weiterhin gültig sein und zwar in beiden
Formulierungen (�q, �p, t) und ( � Q, � P , t).
Nach Gleichung (5.8) ist
L = �
pk ˙qk − H (�q, �p, t) . (5.52)
k
Damit erscheint das Hamilton-Prinzip (5.23) mit dqk = qkdt ˙ in der Form
⎡
� t2
δ ⎣ �
⎤
pjdqj − Hdt⎦
= δ �
⎡
� t2
⎣ �
PjdQj − ¯ ⎤
Hdt⎦
= 0 . (5.53)
t1
j
j
Wegen der festgehaltenen Randwerte der Integration können sich beide Integranden nur um
die totale Zeitableitung einer beliebigen Funktion F (�q, �p, � Q, � P , t) unterscheiden,
L − ¯ L = dF
,
dt
(5.54)
denn
weil
δ [F (t2) − F (t1)]
�� t2 dF
δ
t1 dt
= 0 ,
dt
�
= δ [F (t2) − F (t1)] = 0
wegen δF (t2) = δF (t1) = 0 .
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t1
j