R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

4.5 Fortsetzung des Kepler-Problems
An den Umkehrpunkten der Bewegung ( ˙r = 0) gilt aufgrund (4.57) die Bedingung
E = Veff . (4.58)
Diese ergibt dann die Punkte mit dem größten (rmax) und kleinsten (rmin) Abstand vom
Bewegungszentrum. In Abb. 4.10 haben wir die Bedingung (4.58) skizziert. Auf der Gesamtenergieachse
E tragen wir die Energiebedingungen für die verschiedenen Bewegungsformen
auf und ermitteln die Umkehrpunkte der Bewegung aus Bedingung (4.58).
Wir erkennen:
Veff
E Hyperbel
E Parabel
E Ellipse
E Kreis
r H
r P
r min
r Kreis
l = 0
r max
Abbildung 4.10: Bewegungsformen beim Keplerproblem
1. Für Parabel- und Kreisbewegungen gibt es nur eine endliche Lösung von (4.58).
2. Für Hyperbel- und Ellipsenbahnen gibt es je nach Wert von E unendlich viele Lösungen
für rmin ≤ r ≤ ∞.
3. Für Parabel und Hyperbel liegen keine gebundenen Bewegungen vor. Die kinetische
Energie ist endlich (außer am inneren Umkehrpunkt rmin); selbst bei unendlichem
Abstand r → ∞ ist die kinetische Energie noch endlich. Die Körper kommen aus
dem Unendlichen, werden bei rP bzw. rH reflektiert und verschwinden wieder im
Unendlichen. (Dies hat ebenfalls Bedeutung für die Coulomb-Streuung in der Atomund
Kernphysik.)
4. Für Ellipsenbahnen gibt es gebundene Bahnen, dafür muss aber die Gesamtenergie
E < 0 negativ sein. Gemäß Gleichung (4.43) gilt
r(φ = 0) + r(φ = π) = p p 2p
+ = .
1 + ɛ 1 − ɛ 1 − ɛ2 r
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