R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

6.4.5 Hauptachsentransformation
6.4 Trägheitstensor und Hauptachsentransformation
Wir haben bereits in Kap. 6.4.1 vermerkt, dass die Komponenten des Trägheitstensors (6.51),
(6.54) und (6.63) reell (Θij = Θ ∗ ij ) und symmetrisch (Θij = Θji) sind, d.h. die Matrix ˆ Θ
ist hermitesch oder selbstadjungiert. Jede reelle und symmetrische Matrix lässt sich durch
eine orthogonale Koordinatentransformation auf Diagonalform bringen. Durch die Einführung
eines neuen, gedrehten Koordinatensystems kann der Trägheitstensor stets auf Diagonalform
– wie in Gleichung (6.53) – transformiert werden. Die neuen Koordinatenachsen heißen
Hauptachsen oder Hauptträgheitsachsen.
Bezeichnen wir den resultierenden diagonalisierten Trägheitstensor mit
Iij = Iiδij , (6.68)
so erhalten wir nach Gleichung (6.52) sehr einfache Ausdrücke für die Komponenten des
Drehimpulsvektors
3�
3�
Li = Iijωj =
(6.69)
und die Rotationsenergie (6.49)
Trot = 1
2
3�
i=1
ωiLi = 1
2
3�
j=1
3�
i=1 j=1
j=1
Iijωiωj = 1
2
Iiδijωj = Iiωi
3�
3�
i=1 j=1
Iiδijωiωj = 1
2
3�
i=1
Iiω 2 i . (6.70)
Das Ergebnis (6.69) impliziert, dass bei Rotation um die �eµ-Hauptachse, d. h. �ω = ω�eµ,
dann auch der Drehimpuls parallel zu dieser Achse ist, d. h. � L � �ω � �eµ. Rotiert ein starrer
Körper um eine solche Hauptträgheitsachse und bezeichnet I das Hauptträgheitsmoment
um diese Achse, so gilt nach Gleichung (6.69)
Li = Iωi =
3�
Iδijωj . (6.71)
Andererseits gilt für den alten (nicht-diagonalen) Trägheitstensor ˆ Θ nach wie vor Gleichung
(6.52), d.h.
�L = ˆ 3�
Θ�ω , oder Li = Θijωj . (6.72)
Das Gleichsetzen der Gleichungen (6.71) und (6.72) liefert sofort für i = 1, 2, 3 das Gleichungssystem
3�
(Θij − Iδij) ωj = 0 . (6.73)
j=1
j=1
Ausgeschrieben lautet das Gleichungssystem (6.73)
j=1
(a) (Θ11 − I) ω1 + Θ12ω2 + Θ13ω3 = 0
(b) Θ12ω1 + (Θ22 − I) ω2 + Θ23ω3 = 0
(c) Θ13ω1 + Θ23ω2 + (Θ33 − I) ω3 = 0 . (6.74)
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