R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

6 Bewegung des starren Körpers
Bei festgehaltenem ( � VSP = 0) Schwerpunkt gilt dann für die Lagrange-Funktion des Kreisels
L = Trot − V (φ, θ, ψ) = Θ1
2
Die Lagrange-Gleichungen lauten
(a)
(b)
(c)
+ Θ2
2
� �
˙φ 2 2 2
sin ψ sin θ + θ˙ 2 2
cos ψ + 2φ˙ θ˙ sin ψ sin θ cos ψ
� �
˙φ 2 2 2
cos ψ sin θ + θ˙ 2 2
sin ψ − 2φ˙ θ˙ cos ψ sin θ sin ψ
+ Θ3
� �
˙φ 2 2
cos θ + ψ˙ 2
+ 2φ˙ ψ˙ cos θ − V (φ, θ, ψ)
�
2
�
= L ˙φ, θ, ˙ ψ, ˙ φ, θ, ψ . (6.115)
d ∂L
dt ∂ ˙ φ
d ∂L
dt ∂ ˙ θ
d ∂L
dt ∂ ˙ ψ
= ∂L
∂φ ,
= ∂L
∂θ ,
= ∂L
∂ψ
6.8.2 Beispiel: Schwerer, symmetrischer Kreisel
. (6.116)
Die Symmetrieachse ist natürlich eine der Hauptachsen und soll als z ′
-Achse des körperfesten
Systems gewählt werden. Die Nullpunkte des raumfesten und körperfesten Koordinatensystems
seien in den Unterstützungspunkt des Kreisels gelegt (siehe Abb. 6.17). l ist der
Abstands des Schwerpunkts vom Unterstützungspunkt.
230
l
x’
x
z’
mg
z
S
θ
Abbildung 6.17: Schwerer, symmetrischer Kreisel
y