R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

2 Newtonsche Mechanik
Der Drehimpuls � L und das Drehmoment � D hängen von der Wahl des Bezugspunkts �r ab.
Verschiebt man diesen von �r zu �r + �u, so erhalten wir für den Drehimpuls bezogen auf den
neuen Punkt
�L ′
� �
= (�r + �u) × m ˙�r + �u ˙ . (2.41)
Speziell bei der Transformation in ein anderes Inertialsystem, die einer Verschiebung mit
ü = 0 entspricht, folgt aus Gleichung (2.41)
d� L ′
dt =
� �
d�r d�u
� �
+ × m ˙�r + �u ˙ + (�r + �u) × m
dt dt
¨ �r
� �
= m ˙�r × �r ˙ + �r ˙ × �u ˙ + �u ˙ × �r ˙ + �u ˙ × �u ˙ + m (�r + �u) × ¨ �r .
Die eckige Klammer ergibt keinen Beitrag, weil der erste und der vierte Term verschwinden
und der dritte Term wegen der Antisymmetrie des Kreuzprodukts
� �
˙�u × �r ˙ = −�r ˙ × �u ˙
gerade gleich dem negativen Wert des zweiten Terms ist. Man erhält also
d � L ′
dt = m (�r + �u) × ¨ �r = d� L
dt + m�u × ¨ �r . (2.42)
Führen wir das Drehmoment ebenfalls bezogen auf den neuen Punkt �r + �u als
so schreibt sich Gleichung (2.42) als
�D ′
= (�r + �u) × � F = �r × � F + �u × � F = � D + m�u × ¨ �r , (2.43)
d � L ′
dt = � D ′
. (2.44)
Der Drehimpulssatz gilt also für jeden beliebigen inertialen Bezugspunkt, oder anders ausgedrückt,
der Drehimpulssatz ist invariant gegenüber der Galilei-Transformation zwischen
Inertialsystemen.
2.3.7 Zusammenfassung: Erhaltungssätze für einen Massenpunkt
Fassen wir die in diesem Abschnitt gewonnenen Erhaltungssätze für die Bewegung eines
Massenpunktes in einem abgeschlossenen System zusammen:
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(a) Für konservative Kräfte ( rot � F = 0) ist die Gesamtenergie E = T + V erhalten.
(b) Für Zentralkräfte (�r × � F = 0) ist der Drehimpuls � L ≡ �r × �p erhalten.
(c) Gemäß des Trägheitsgesetzes ist bei verschwindender Kraft ( � F = 0) der lineare Impuls
�p = m�v erhalten.