R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5 Hamilton-Mechanik
5.2.2 Spezielle Fälle von Poisson-Klammern
Es ist
1. [f, qk] = − ∂f
∂pk weil
2. Ebenso gilt [f, pk] = ∂f
∂qk
3. [qi, qk] = 0
4. [pi, pk] = 0
� �
∂qk = 0
∂pi
5. [pi, qk] = � � �
s ∂pi ∂qk ∂pi ∂qk
n=1 − = 0 − ∂qn ∂pn ∂pn ∂qn
�s n=1 δinδkn = −δik und [qi, pj] = δij,
wobei δik das Kronecker-Symbol (1.6) bezeichnet.
Die kanonischen Bewegungsgleichungen ergeben sich dann mit (5.10)–(5.11) als
[pk, H] =
s�
�
∂pk ∂H
n=1
∂qn ∂pn
− ∂pk
∂pn
�
∂H
∂qn
= − ∂H
∂qk
= ˙pk ,
also ˙pk = [pk, H] (5.40)
s�
�
∂qk ∂H
und [qk, H] =
−
∂qn ∂pn
∂qk
�
∂H
=
∂pn ∂qn
∂H
= ˙qk ,
∂pk
n=1
also ˙qk = [qk, H] . (5.41)
5.2.3 Poisson-Theorem
Das Poisson-Theorem ist hilfreich, bei bekannten Bewegungsintegralen weitere zu finden.
Poisson-Theorem: Für alle f und g mit
df
dt
=
dg
= 0
dt
gilt [f, g] = const. , (5.42)
d.h. [f, g] ist Bewegungsintegral.
Beweis: Nach (5.30) gilt
d ∂ [f, g]
[f, g] = + [[f, g] , H] .
dt ∂t
Nutzen wir die Beziehungen (5.33), (5.36), (5.38) und (5.39) auf der rechten Seite dieser
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