R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
wobei � li = �ri × �pi der Drehimpuls des i-ten Teilchens ist.
Aus der Invarianz der Lagrange-Funktion gegenüber Drehungen δL = 0 folgt dann
0 = δL = d � φ ·
N�
i=1
d
dt � li ,
und weil dies für jede beliebige Drehung d � φ gelten muss,
0 = d
dt
N�
i=1
� li = d
dt � L . (3.219)
Der Gesamtdrehimpuls � L = � N
i=1 � li ist Erhaltungsgröße. Nur dieser, und nicht die Drehimpulse
der einzelnen Massenpunkte, bleibt bei Rotationsinvarianz erhalten.
Damit ist der Drehimpulserhaltungssatz bewiesen.
Übungsaufgabe:
(A3.12.1) Beweisen Sie, dass nur eine Gesamtdrehimpulskomponente erhalten bleibt, wenn
die Lagrange-Funktion invariant ist gegenüber Drehungen um eine Achse.
3.12.4 Zusammenfassung
Wir haben drei wichtige Beziehungen zwischen den Symmetrieeigenschaften eines abgeschlossenen
Systems und der Erhaltung von physikalischen Größen bewiesen, die in Tabelle
3.1 zusammengefasst sind.
Tabelle 3.1: Symmetrien und Erhaltungssätze
Eigenschaft des Lagrange-Funktion Erhaltungsgröße
Inertialsystems
Homogenität der Zeit keine explizite Funktion Hamilton-Funktion
der Zeit (bei konservativen
Kraftfeldern
gleich Gesamtenergie)
Homogenität des Raums translationsinvariant Gesamtimpuls
Isotropie des Raums rotationsinvariant Gesamtdrehimpuls
Alle drei Erhaltungssätze lassen sich ebenfalls elegant aus dem Noether-Theorem ableiten.
120