R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

6 Bewegung des starren Körpers
Gemäß Gleichung (6.58) ist das Trägheitsmoment um diese Achse
� �
Θ = Θ�n = �n · ˆΘ�n =
⎛
Θxx
(cos α, cos β, cos γ) ⎝Θyx
Θxy
Θyy
⎞ ⎛ ⎞
Θxz cos α
Θyz⎠
⎝cos
β⎠
=
Θzx Θzy Θzz cos γ
⎛
⎞
Θxx cos α + Θxy cos β + Θxz cos γ
(cos α, cos β, cos γ) ⎝Θyx
cos α + Θyy cos β + Θyz cos γ⎠
Θzx cos α + Θzy cos β + Θzz cos γ
= Θxx cos 2 α + Θyy cos 2 β + Θzz cos 2 γ
+2Θxy cos α cos β + 2Θxz cos α cos γ + 2Θyz cos β cos γ , (6.76)
wobei wir die Symmetrie des Trägheitstensors ˆ Θ ausgenutzt haben.
Führen wir den neuen Vektor
�w ≡ �n
� �
cos α cos β cos γ
√ = √ , √ , √
Θ Θ Θ Θ
ein, so schreibt sich Gleichung (6.76) als
(6.77)
Θxxw 2 x + Θyyw 2 y + Θzzw 2 z + 2Θxywxwy + 2Θxzwxwz + 2Θyzwywz = 1 . (6.78)
Gleichung (6.78) stellt in den Koordinaten (wx, wy, wz) ein Ellipsoid dar, das sogenannte
Trägheitsellipsoid.
Der Abstand w vom Drehpunkt 0 in Richtung �n zum Trägheitsellipsoid ist
w = 1
√ Θ . (6.79)
Durch Drehung des Koordinatensystems können wir das Ellipsoid in seine Normalform überführen,
Θ1w 2 1 + Θ2w 2 2 + Θ3w 2 3 = 1 =
w2 1
� 1
√Θ1
� 2 + w2 2
� 1
√Θ2
�2 + w2 3
� �2 , (6.80)
√Θ3 1
ohne die in Gleichung (6.78) auftretenden Mischterme. Gleichung (6.80) entspricht dem
Trägheitsellipsoid im Hauptachsensystem. Nach Gleichung (6.79) ist der Radiusvektor zu
einem Punkt auf diesem Trägheitsellipsoid umgekehrt proportional zum Hauptträgheitsmoment
bei Rotation um diesen Vektor.
6.6 Die Eulerschen Gleichungen
Wir betrachten die Bewegungsgleichung des starren Körpers mit einem festgehaltenen Punkt,
d.h. � V = �0 in Gleichung (6.43).
Im raumfesten Koordinatensystem gilt gemäß Gleichung (2.39) der Drehimpulssatz
� �
d
�L =
dt
� D , (6.81)
220
R