R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

1.11.6 Beispiel: Kugelkoordinaten
Mit Kugelkoordinaten (r, θ, φ) gilt für den Ortsvektor
1.11 Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten
�r = x�e1 + y�e2 + z�e3 = r sin θ cos φ�e1 + r sin θ sin φ�e2 + r cos θ�e3 = �r (r, θ, φ) , (1.140)
mit r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π und 0 ≤ φ ≤ 2π. Als neue Koordinaten wählen wir also q1 = r, q2 = θ
und q3 = φ.
Zur Berechnung der neuen Einheitsvektoren (1.120) und Skalenfaktoren (1.121) benötigen
wir
∂�r
∂r
= (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) ,
∂�r
∂θ
= r (cos θ cos φ, cos θ sin φ, − sin θ)
und
so dass
∂�r
∂φ
h1
h2
h3
=
=
=
=
r (− sin θ sin φ, sin θ cos φ, 0) ,
� �
�
hr = �
∂�r �
�
�∂r
� = 1 ,
� �
�
hθ = �
∂�r �
�
�∂θ
� = r ,
� �
�
hφ = �
∂�r �
�
�∂φ
� = r sin θ (1.141)
und �eq1 = �er = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) ,
�eq2 = �eθ = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, − sin θ) ,
�eq3 = �eφ = (− sin φ, cos φ, 0) . (1.142)
Durch Einsetzen dieser Ergebnisse in den allgemeinen Ausdruck (1.130) erhalten wir für den
Gradienten in Kugelkoordinaten
�∇ψ = ∂ψ
∂r �er + 1 ∂ψ
r ∂θ �eθ + 1 ∂ψ
r sin θ ∂φ �eφ . (1.143)
Gemäß Gleichung (1.135) ergibt sich für die Divergenz in Kugelkoordinaten
div � A = � ∇ · � A =
1
r2 �
∂ �
Arr
sin θ ∂r
2 sin θ � + ∂
∂θ (Aθr sin θ) + ∂
∂φ (Aφr)
�
= 1
r2 ∂ �
Arr
∂r
2� + 1 ∂
r sin θ ∂θ (Aθ sin θ) + 1 ∂
r sin θ ∂φ (Aφ) , (1.144)
37