R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

α = 0 liefert den Extremalwert J(α = 0) = s(α = 0) = 1 und es gilt
� �
∂J(α)
= 0 .
∂α
3.10.2 Euler-Gleichung
Aus den Gleichungen (3.125) und (3.124) folgt
∂J(α)
∂α
= ∂
∂α
� x2
x1
dx f
Weil die Grenzen x1 und x2 festliegen, folgt
� �
x2
∂J(α)
∂α =
x1
x1
dx
�
∂f ∂y ∂f
+
∂y ∂α ∂y ′
∂y ′
∂α
=
α=0
3.10 Exkurs über Variationsprinzipien
�
y(α, x), y ′
�
(α, x); x
x1
� x2
x1
dx
x1
�
∂f ∂y ∂f
+
∂y ∂α ∂y ′
∂2 �
y
∂α∂x
. (3.130)
. (3.131)
Den zweiten Term des Integranden integrieren wir partiell nach x:
� x2
dx ∂f
∂y ′
� � �
d ∂y ∂f
=
dx ∂α ∂y ′
�x2 � x2
∂y
− dx
∂α
d
�
∂f
dx ∂y ′
�
∂y
. (3.132)
∂α
Nach Gleichung (3.123) ist
so dass
∂y
� �
∂α
x2 ∂y
∂α
und wir erhalten für Gleichung (3.132)
� x2
x1
dx ∂f
∂y ′
d
dx
x1
� ∂y
∂α
= η(x) , (3.133)
= η (x2) − η (x1) = 0
�
� x2
= −
x1
dx d
�
∂f
dx ∂y ′
�
η(x) .
Setzen wir dies und Gleichung (3.133) in Gleichung (3.131) ein, so folgt
∂J(α)
∂α =
� x2
x1
dx
�
∂f d
−
∂y dx
� ∂f
∂y ′
�� ∂y
∂α =
� x2
x1
dx
�
∂f d
−
∂y dx
� ∂f
∂y ′
��
η(x) , (3.134)
y und y ′
sind noch Funktionen von α. Wenn aber α = 0 ist, dann ist y(α, x) = y(0, x) = y(x)
unabhängig von α. Weil η(x) beliebige Funktionen sind, folgt aus der Bedingung (3.125)
� �
∂J(α)
= 0 ,
∂α
dass gemäß Gleichung (3.134) der Integrand selbst verschwinden muss:
�
∂f d ∂f
−
∂y dx ∂y ′
�
= 0 , (3.135)
wobei die Ursprungsfunktionen y und y ′
unabhängig von α sind. Gleichung (3.135) wird als
Euler-Gleichung der Variationsrechnung bezeichnet.
α=0
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