R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

2 Newtonsche Mechanik
Die dynamische Bewegungsgleichung ist wieder durch Gleichung (2.68) gegeben
oder
Die Integration dieser Gleichung führt sofort auf
m¨z�e3 = −mg�e3 ,
d�v
dt = −g �e3 . (2.75)
�v(t) = −gt�e3 + �c2 ,
mit dem zeitlich konstanten Vektor �c2. Aus der Anfangsbedingung (2.74) erschließt man
�c2 = �v0 = V0 (cos α�e2 + sin α�e3) ,
so dass �v(t) = (V0 sin α − gt) �e3 + V0 cos α�e2 . (2.76)
Die Steigzeit T ergibt sich aus der Bedingung �v(t = T ) · �e3 = 0 zu T = V0 sin α/g.
Durch nochmalige Integration von Gleichung (2.76) ergibt sich mit der Anfangsbedingung
�r(t = 0) = �0 die Lösung der Bewegungsgleichung zu
�
�r(t) = (0, y(t), z(t)) = V0 (sin α) t − g
2 t2� �e3 + V0(cos α)t�e2 . (2.77)
Aus der Gleichung für die y-Komponente der Bewegung
y(t) = tV0 cos α
y
folgt t =
V0 cos α .
Eingesetzt in die Gleichung für die z-Komponente der Bewegung folgt die Parabelgleichung
z(t) = V0(sin α)t − g
2 t2 = y(t) tan α − g
� �2 y(t)
2 V0 cos α
für den Zusammenhang z = z(y), der in Abb. 2.5 illustriert ist.
62
z
z = z (y)
y
y (T) y (t D)
Abbildung 2.5: Höhe-Weite-Verlauf beim schrägen Wurf
(2.78)