R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

7 Spezielle Relativitätstheorie
Mit diesen Werten ist Gleichung (7.7) dann ebenfalls erfüllt, denn
a 2 − c 2 e 2 = γ 2 − c 2 V 2 γ 2
c 4
= γ2
�
1 −
Für die Transformationsgleichungen (7.5) erhalten wir somit
(a) x ′
(b) t ′
= γ (x − V t)
� �
V x
= γ − + t
c2 V 2
c2 �
= 1 .
. (7.17)
Als Umkehrtransformation ergibt sich
(a) x =
�
γ x ′
+ V t ′�
(b) und t =
�
V x
γ
′
c2 �
+ t′ . (7.18)
Es ist üblich, das Verhältnis
β ≡ V
(7.19)
c
einzuführen und die Gleichungen (7.17b) und (7.18b) mit c zu multiplizieren. Wir erhalten
dann neben der Beziehung (7.4)
und
� ′ �
x
ct ′
� �
x
ct
� � � �
1 −β x
= γ
(7.20)
−β 1 ct
� � � ′
1 β x
= γ
β 1 ct ′
�
. (7.21)
Die Gleichungen (7.4), (7.20) und (7.21) werden als Lorentz-Transformation bezeichnet.
Im Grenzfall β ≪ 1 folgt sofort mit γ � 1 + (β2 /2) � 1 aus Gleichung (7.20) die Galilei-
Transformation x ′
� x − V t und t ′
� t.
Für manche Anwendungen ist es nützlich, die Transformationsformeln auch für den allgemeinen
Fall, dass die Relativgeschwindigkeit � V nicht in Richtung der x-Achse zeigt, zu kennen.
Man erhält diese, indem man den Ortsvektor
�r = �r � + �r⊥
(7.22)
in einen Anteil �r � � � V und �r⊥ ⊥ � V aufspaltet. Aus den Gleichungen (7.4) und (7.17) folgt
dann
�r ′
⊥ = �r⊥ , �r ′
�
� = γ �r � − � �
V t , t ′
�
�V · �r �
= γ t −
c2 �
. (7.23)
Weil aber
240
�r � =
�
�r · � �
V �V
V 2 , �r⊥ = �r − �r � ,