R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

(ρ cos φ, ρ sin φ, z). Mit Gleichung (1.69) folgt
�r(t) · �eφ = −ρ cos φ sin φ + ρ sin φ cos φ = 0 ,
1.9 Vektorielle Differentialoperatoren
so dass der Ortsvektor keine Komponente parallel zu �eφ hat. Deshalb gilt die Darstellung
�r(t) = ρ(t)�eρ(t) + z(t)�ez(t) . (1.77)
Wegen der Zeitvariabilität der Einheitsvektoren �eρ(t) und �ez(t) folgt mit Gleichung (1.72)
und (1.74)
�v(t) = ˙ �r = ˙ρ�eρ + ρ ˙ �eρ + ˙z�ez + z ˙ �ezρ = ˙ρ�eρ + ρ ˙ φ�eφ + ˙z�ez . (1.78)
Daraus erhält man drei Anteile für den Beschleunigungsvektor
Übungsaufgabe:
�a(t) = ˙ �v = ¨ρ�eρ + ˙ρ ˙ �eρ + ˙ρ ˙ φ�eφ + ρ ¨ φ�eφ + ρ ˙ φ ˙ �eφ + ¨z�ez + ˙z ˙ �ez
�
= ¨ρ − ρ ˙ φ 2�
�
�eρ + ρ ¨ φ + 2 ˙ρ ˙ �
φ �eφ + ¨z�ez . (1.79)
(A1.8.1) Berechnen Sie die Einheitsvektoren sowie den Geschwindigkeitsvektor und Beschleunigungsvektor
in Kugelkoordinaten
x = r cos φ sin θ , y = r sin φ sin θ , z = r cos θ .
Drücken Sie �er, �eθ und �eφ als Funktion der kartesischen Einheitsvektoren �e1, �e2, �e3 aus.
Verifizieren Sie dabei folgende Ergebnisse:
�er = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) (1.80)
�eθ = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, − sin θ) (1.81)
�eφ = (− sin φ, cos φ, 0) (1.82)
�v(t) = ˙r�er + r ˙ θ�eθ + r sin θ ˙ �a(t) =
φ�eφ
�
¨r − r
(1.83)
˙ θ 2 − r sin 2 θ ˙ φ 2�
�er
⎡
+ ⎣ 1
�
d r
r
2 �
θ˙
dt
− r sin θ cos θ ˙ φ 2
⎤
⎦ �eθ
�
1 d
�
+
r
r sin θ dt
2 sin 2 θ ˙ �
φ
�
�eφ . (1.84)
1.9 Vektorielle Differentialoperatoren
1.9.1 Gradient
Wir definieren zunächst skalare Felder und vektorielle Felder.
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