R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3.6 Das Prinzip von d’Alembert
(b) Die virtuelle Verrückung ist instantan, d.h. die Zwangsbedingungen verändern sich
während der Verrückung nicht. Bei skleronomen Zwangsbedingungen braucht diese
zweite Eigenschaft sowieso nicht gefordert werden.
Durch die virtuelle Verrückung wird durch die Anwesenheit von Kräften eine (ebenso gedachte)
virtuelle Arbeit geleistet. Mit � Ftot = � K + � Z folgt für die virtuelle Arbeit
δA = � Ftot · δ�r = � K · δ�r + � Z · δ�r = � K · δ�r , (3.72)
weil aufgrund Gleichung (3.70) der Beitrag der Zwangskräfte verschwindet.
Die Ableitung von Gleichung (3.70) ist bei einfachen mechanischen Problemen wie der schiefen
Ebene anschaulich verständlich und daher nachvollziehbar. Bei komplizierteren mechanischen
Problemen ist die Anschauung nicht mehr gegeben, so dass man den Spieß umdrehen
muss und das Prinzip als allgemeingültig erklären muss! Das Prinzip der virtuellen
Verrückung ist also eine mathematisch nicht herleitbare, sondern aus der physikalischen Erkenntnis
gewonnene Erweiterung der Newtonschen Mechanik.
3.6.2 Allgemeiner nichtstatischer Fall
Wir betrachten jetzt den nichtstatischen ( ¨ �r �= �0) Fall der Dynamik eines Systems von Massenpunkten,
deren Bewegungsgleichungen
˙�pi = � Fi
wir für alle i als �
�Fi − ˙ �
�pi = �0 (3.73)
schreiben. Durch Einführung von äußeren Kräften und Zwangskräften und skalare Multiplikation
mit den virtuellen Verrückungen δ�ri erhalten wir
� �
�Ki + � Zi − ˙ �
�pi · δ�ri = 0 . (3.74)
i
Unter Ausnutzung des Prinzips der virtuellen Verrückung (3.71) folgt das Prinzip von
d’Alembert für ein System von Massenpunkten
� �
�Ki − ˙ �
�pi · δ�ri = 0 . (3.75)
i
Für einen Massenpunkt i = 1 reduziert sich Gleichung (3.75) auf
� �
�K − �p ˙ · δ�r = 0 . (3.76)
Die Projektion der Bewegungsgleichungen auf die virtuellen Verrückungen in den Gleichungen
(3.75) und (3.76) eliminiert also die Zwangskräfte bei der Behandlung des mechanischen
Problems. Das ist gut, hat aber zunächst noch einen Nachteil: Während (3.74) auch für alle
einzelnen Werte von i gilt, ist dies nicht mehr der Fall bei Gleichung (3.75), weil die virtuellen
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