R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität
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8.8 Rotverschiebung, Lichtlaufzeit <strong>und</strong> Alter des Universums<br />
<strong>und</strong> z <strong>der</strong> Rotverschiebungsparameter ist. Mit <strong>der</strong> Expansion des Universums vergrößern sich<br />
die Wellenlängen proportional zum Abstand R. Mit dem gegenwärtigen Wert R0 definieren<br />
wir<br />
r = R<br />
so dass zum Zeitpunkt <strong>der</strong> Lichtemission<br />
R0<br />
, (8.61)<br />
r = 1<br />
1 + z<br />
. (8.62)<br />
Es bietet sich an, die Abstände als Funktion von r zu schreiben <strong>und</strong> die Zeit t = τ/H0 in<br />
Einheiten <strong>der</strong> gegenwärtigen Hubble-Zeit H −1<br />
0 mit H0 = H(R0) zu messen. Die Gleichungen<br />
(8.13) <strong>und</strong> (8.14) führen dann auf<br />
ρm = ρm0<br />
� R0<br />
R<br />
� 3<br />
= ρm0<br />
r 3 , ργ = ργ0<br />
� �4 R0<br />
R<br />
= ργ0<br />
, (8.63)<br />
r4 wobei ρm0 = ρm(R0) <strong>und</strong> ργ0 = ργ(R0) die heutige Materiedichte <strong>und</strong> Strahlungsdichte<br />
sind <strong>und</strong> ρv = ρv0 = const.<br />
Für die Einstein-Gleichung (8.9) erhalten wir dann<br />
d 2 r<br />
dτ<br />
Für das heutige Hubble-Gesetz gilt nach Gleichung (8.1)<br />
o<strong>der</strong><br />
Ωm0<br />
= −Ωγ0 − 2 r3 2r2 + Ωv0r . (8.64)<br />
dR<br />
dt = H0R ,<br />
dr<br />
dτ<br />
= r = 1 (8.65)<br />
bei r = 1. Nach Multiplikation <strong>der</strong> Einstein-Gleichung (8.64) mit dr/dτ folgt<br />
dr d<br />
dτ<br />
2r dτ 2 =<br />
� �2 �<br />
1 d dr<br />
= −<br />
2 dτ dτ<br />
Ωγ0<br />
�<br />
Ωm0 dr<br />
− + Ωv0r<br />
r3 2r2 dτ ,<br />
mit dem Integral<br />
� �2 dr<br />
dτ<br />
=<br />
� �<br />
Ωγ0 Ωm0 2<br />
c2 + + + Ωv0r<br />
r2 r<br />
(8.66)<br />
<strong>und</strong> <strong>der</strong> Integrationskonstanten c2. Für r = 1 erhalten wir aus dieser Gleichung mit Gleichung<br />
(8.65)<br />
c2 = 1 − Ωγ0 − Ωm0 − Ωv0 = 1 − Ω0 .<br />
Für Gleichung (8.66) ergibt sich dann<br />
� �2 dr<br />
dτ<br />
= 1 − Ωγ0 − Ωm0 − Ωv0 +<br />
o<strong>der</strong><br />
dr<br />
dτ =<br />
= 1 − Ω0 +<br />
�<br />
�<br />
Ωγ0 Ωm0<br />
+<br />
r2 r<br />
� �<br />
Ωγ0 Ωm0 2<br />
+ + Ωv0r<br />
r2 r<br />
1 − Ω0 + Ωγ0<br />
�1/2 Ωm0 2<br />
+ + Ωv0r<br />
r2 r<br />
�<br />
2<br />
+ Ωv0r<br />
, (8.67)<br />
, (8.68)<br />
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