R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
Durch Differentiation folgt
und
so dass
d
dt
∂L
∂q = (m1 − m2) g
∂L
∂ ˙q = (m1
� �
∂L
∂ ˙q
=
+ m2) ˙q ,
(m1 + m2) ¨q .
Die Lagrange-Gleichung 2.Art (3.96) lautet in diesem Fall dann
(m1 + m2) ¨q − (m1 − m2) g = 0 ,
oder ¨q = m1 − m2
g ,
mit der allgemeinen Lösung
m1 + m2
q(t) = m1 − m2 g
m1 + m2 2 t2 + c1t + c2 . (3.98)
Man erhält eine durch das Verhältnis der Massen veränderte Fallbeschleunigung.
3.8.3 Allgemeine Form der kinetischen Energie
Gemäß Gleichung (3.81)
folgt für die kinetische Energie
T = 1
2
N�
i=1
miv 2 i = 1
2
=
mit akj =
bj =
und c =
�vi =
N�
i=1
s�
s� ∂�ri
qj ˙ +
∂qj
∂�ri
∂t
j=1
mi
j=1 k=1
N�
i=1
N�
i=1
N�
i=1
⎛
⎝
s� ∂�ri
qj ˙ +
∂qj
∂�ri
⎞
⎠
∂t
j=1
s�
akj ˙qk ˙qj + 2
mi
2
mi
2
mi
2
2
s�
bj ˙qj + c , (3.99)
j=1
∂�ri ∂�ri
, (3.100)
∂qj ∂qk
∂�ri
∂qj
∂�ri
∂t
� �2 ∂�ri
∂t
Ist die Koordinatentransformation �ri → qj zeitunabhängig, d.h.
90
∂�ri
∂t
= 0 ,
(3.101)
. (3.102)