R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

1 Vektorrechnung
Der Nettofluss ergibt sich als Differenz der beiden Flussraten zu
�
A1 + ∂A1
�
dx1 dx2dx3 − A1dx2dx3 =
∂x1
∂A1
dx1dx2dx3 =
∂x1
∂A1
dV .
∂x1
Analog berechnet man den Nettofluss in x2- und x3-Richtung und nach Addition findet man
für den Gesamtfluss durch den Quader
�
∂A1
dV
∂x1
+ ∂A2
∂x2
+ ∂A3
�
=
∂x3
3� �
∂Ai
dV =
∂xi
i=1
div � �
A dV .
Das Volumenelement dV stellt eine “Quelle” des Vektorfeldes dar falls div � A > 0; es stellt
eine “Senke” des Vektorfeldes dar falls div � A < 0.
Geometrisch kann man die Divergenz als Maß für das Auseinanderlaufen eines Vektors an
einem Punkt P interpretieren. Betrachten wir als erstes Beispiel die Vektorfunktion
�A1 = �r = x�e1 + y�e2 + z�e3 , (1.100)
die in Abb. 1.16 a schematisch dargestellt ist. Wir erhalten sofort einen relativ hohen Wert
für die Divergenz,
div � A1 = ∂ ∂ ∂
(x) + (y) + (z) = 3 .
∂x ∂y ∂z
z
y
x
x
a) A = r = xe +ye +ze
1 1 2 3
b) A =1e 2 3
(in x−y−, x−z−, y−z−Ebene)
(in x−y−, x−z−, y−z−Ebene)
Abbildung 1.16: Divergenz zweier spezieller Vektorfunktionen
Als zweites Beispiel betrachten wir den Einheitsvektor in z-Richtung:
z
�A2 = 1�e3 , (1.101)
der in Abb. 1.16 b schematisch dargestellt ist. Hier verschwindet die Divergenz
28
div � A2 = ∂ ∂ ∂
(0) + (0) + (1) = 0 .
∂x ∂y ∂z
y