R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

4 Das Zweikörper-Problem
oder die Hauptachsengleichung der Hyperbel.
x 2
a
2 − y2
= 1 . (4.54)
b2 Gleichung (4.54) kann auch geschrieben werden als
�
x2 y = ±b − 1 , (4.55)
a2 die für große Werte von x asymptotisch gegen die Asymptoten
y � ± b
x . (4.56)
a
verläuft.
Mit diesem Einschub ist die allgemeine Form von Gleichung (4.43) als Darstellung von Kegelschnitten
begründet.
4.5 Fortsetzung des Kepler-Problems
4.5.1 Klassifikation der Bewegungstypen
Als Lösung der Bewegungsgleichung erhielten wir nach Gleichung (4.43)
r(φ) =
mit dem Bahnparameter p = l2
µα
�
und der Exzentrizität ɛ =
p
1 + ɛ cos φ ,
1 + 2El2
.
µα2 Die Form der Bahnkurve hängt über ɛ von der Gesamtenergie E des bewegten Körpers ab:
(a) für eine Parabel: ɛ = 1, also E = 0;
(b) für eine Ellipse: 0 < ɛ < 1, also negatives E < 0 zwischen −µα 2 /(2l 2 ) < E < 0;
(c) für einen Kreis: ɛ = 0, also E = −µα 2 /(2l 2 );
(d) für eine Hyperbel: ɛ > 1, also E > 0.
Mit dem effektiven Potential (4.34) und dem Energieerhaltungssatz (4.24)
E = µ
2 ˙r2 + Veff (r) = µ
2 ˙r2 + l2 α
−
2µr2 r
lassen sich dann die prinzipiellen Bahntypen klassifizieren.
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(4.57)