R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
3.14 Der Virialsatz
Der Virialsatz ist oft sehr hilfreich, um das zeitliche Mittel einer physikalischen Größe S(t)
zu berechnen.
Definition: Der Mittelwert (oder Erwartungswert) einer zeitlich veränderlichen physikalischen
Größe wird durch
〈W (t)〉 = W ≡ 1
� τ
W (t)dt . (3.253)
τ 0
definiert, wobei τ ein zu wählendes Zeitintervall kennzeichnet.
Für ein System von N-Massenpunkten in einem begrenzten Volumen, die sich mit endlicher
Geschwindigkeit bewegen (d.h. die Werte ri und pi sind begrenzt), betrachten wir die Größe
Dann gilt
dS
dt =
Mit �pi = mi ˙ �ri folgt für den 2. Term:
i=1
mit ˙ �pi = � Fi folgt für den 1. Term:
i=1
S ≡
N�
�pi · �ri . (3.254)
i=1
N�
˙�pi · �ri +
i=1
N�
�pi · ˙ �ri . (3.255)
i=1
N�
�pi · ˙ N�
�ri = mi ˙ �ri · ˙ N�
�ri = 2
N�
˙�pi · �ri =
i=1
so dass sich für Gleichung (3.255) ergibt:
dS
dt
= 2T +
i=1
N�
�Fi · �ri ,
i=1
mi
2 ˙r2 i = 2T ;
N�
�Fi · �ri . (3.256)
Wir mitteln nun diesen Ausdruck gemäß der Vorschrift (3.253) und erhalten
2T +
N�
�Fi · �ri =
i=1
i=1
� �
dS
=
dt
1
� τ
τ 0
dS(t) S(τ) − S(0)
dt = . (3.257)
dt τ
Im Grenzfall τ → ∞ gilt wegen der angenommenen Beschränktheit von S:
128
S(τ) − S(0)
lim
= 0 ,
τ→∞ τ