R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5 Hamilton-Mechanik
wobei wir die Gleichungen (5.86) und (5.8) verwendet haben. Integrieren wir Gleichung
(5.89), so erhalten wir
�
F2 = dtL (p, q, t) + const = S + const . (5.90)
Bis auf eine Konstante ist die erzeugende Funktion F2 gleich der Wirkungsfunktion
S = � dtL, die beim Hamilton-Prinzip minimiert wurde. Deshalb heißt
Hamiltonsche Wirkungsfunktion.
F2 (q, P, t) = S (q, P, t) (5.91)
(2) Die HJD (5.88) ist eine nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung für F2 in den (s+1)
Variablen q1, . . . , qs, t. Sie ist nichtlinear, da H im Allgemeinen quadratisch von den Impulsen
pj und damit von (∂F2/∂qj) abhängt. Es treten nur partielle Ableitungen 1. Ordnung nach
den qj und nach t auf.
(3) Die HJD enthält (s + 1)-verschiedene Ableitungen der gesuchten Funktion F2. Nach der
Integration der Gleichung erhalten wir demnach (s + 1) Integrationskonstanten. Da die HJD
F2 nur in der Form (∂F2/∂qj) oder (∂F2/∂t) enthält, ist mit F2 auch stets F2 + const.
Lösung. Von den Integrationskonstanten ist also eine trivial additiv. Die vollständige Lösung
hat also die Gestalt
F2 (q1, . . . qs, t |α1, . . . , αs ) + αs+1
(5.92)
αs+1 ist unwichtig, da die Transformationsformeln (5.87) nur die Ableitungen von F2 enthalten.
(4) Die HJD bestimmt nur die qj- und t-Abhängigkeiten der Lösung F2 = F2(qj, Pj, t) und
macht keine Aussagen über die Impulse Pj. Wir wissen aber aus Gleichung (5.84), dass die
Impulse konstant sind, und haben deshalb die Freiheit, die Integrationskonstanten mit den
neuen Impulsen zu identifizieren:
Pj = αj , j = 1, . . . , s . (5.93)
Aus diesen Überlegungen konstruieren wir das folgende Lösungsverfahren:
(a) Man formuliere H = H(�q, �p, t), setze pj = ∂F2/∂qj ein und stelle die HJD auf.
(b) Man löse die HJD für F2:
F2 = S (q1, . . . , qs, t |α1, . . . , αs )
und identifiziere die Integrationskonstanten mit den neuen Impulsen:
(c) Man setze nach Gleichung (5.87b)
182
Pj = αj , j = 1, . . . , s .
∂S (�q, t |�α)
Qj = = Qj (�q, t |�α) = βj , j = 1, . . . , s . (5.94)
∂αj