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6 Bewegung des starren Körpers Dabei vertauschen sich die Vorzeichen je nach Definition der Richtung der Drehung um die jeweilige Achse. Eine allgemeine infinitesimale Drehung wird durch die Matrix ⎛ 1 (I + E1) (I + E2) (I + E3) = ⎝−dφ3 dφ3 1 ⎞ −dφ2 dφ1 ⎠ ≡ I + E . (6.19) dφ2 −dφ1 1 beschrieben, also ist ⎛ 0 E = ⎝−dφ3 dφ3 0 ⎞ −dφ2 dφ1 ⎠ (6.20) dφ2 −dφ1 0 eine Matrix mit insgesamt drei Parametern dφ1, dφ2 und dφ3. Kann man diese zu einem Vektor zusammenfassen? Dazu betrachten wir den Vektor �x nach einer infinitesimalen Drehung: �x ′ = (I + E)˜x und berechnen die Änderung des Vektors d�x = �x ′ − �x = (I + E)˜x − ˜x = E˜x, d.h. ⎛ ⎞ ⎛ dx1 0 ⎝dx2⎠ = ⎝−dφ3 dφ3 0 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −dφ2 x1 x2dφ3 − x3dφ2 dφ1 ⎠ ⎝x2⎠ = ⎝−x1dφ3 + x3dφ1⎠ = �x × d dx3 dφ2 −dφ1 0 x3 x1dφ2 − x2dφ1 � Ω , (6.21) d.h. d�x = �x × d� Ω kann als Kreuzprodukt von �x mit d� Ω dargestellt werden, wobei d� ⎛ ⎞ dφ1 Ω ≡ ⎝dφ2⎠ . (6.22) dφ3 d � Ω ist ein “Pseudovektor”, da er für Spiegelungstransformationen invariant ist (Beweis siehe Goldstein, Kap. 4.7). Betrachten wir als Beispiel noch einmal die Drehung um die �e3-Achse (siehe Abb. 6.4). Mit d � Ω = (0, 0, dφ3) folgt d�x = (x1, x2, x3) × (0, 0, dφ3) = (x2dφ3, −x1dφ3, 0) . Mit x1 = ρ sin φ3, x2 = ρ cos φ3 folgt � |d�x| = ρ2 cos2 φ3dφ2 3 + ρ2 sin2 φ3dφ2 3 = ρdφ3 . Damit haben wir nachträglich Gleichung (3.214) zur Darstellung infinitesimaler Drehungen bewiesen. Wir betrachten jetzt die infinitesimale Bewegung eines beliebigen Vektors � G im körperfesten Koordinatensystem. Gemäß unseren Ausführungen in Kap. 6.1 setzt sich diese zusammen aus der Bewegung des Körpers im raumfesten System und der Änderung der Koordinaten von � G aufgrund der Drehung der Körperachsen: � d � � G körperfest = � d � � G raumfest + 204 � d � � G rot . (6.23)
e 1 dφ d Ω e 3 x’ x Θ Θ Abbildung 6.4: Infinitesimale Drehung um die �e3-Achse dx 6.2 Infinitesimale Drehungen Die Änderung der Komponenten von � G aufgrund der infinitesimalen Koordinatendrehung beträgt analog zu Gleichung (6.21) so dass � d � � G rot = � G × d� Ω , (6.24) � d � � G raumfest = � d � � G körperfest + d� Ω × � G . (6.25) Für die Änderung des Vektors � G erhalten wir damit die Beziehung � d � � � G d = dt raumfest � � G + �ω × dt körperfest � G , (6.26) mit der Winkelgeschwindigkeit des Körpers �ω ≡ d� Ω dt = � dΩ1 dt � � dΩ2 dΩ3 dφ1 , , = dt dt dt e 2 � dφ2 dφ3 , , dt dt . (6.27) Da der Vektor � G beliebig ist, können wir Gleichung (6.26) auch als Operatorgleichung � � d dt raumfest = � � d + �ω × . (6.28) dt körperfest schreiben. Wenden wir diese Operatorgleichung auf die Winkelgeschwindigkeit �ω selbst an, so folgt � � d�ω dt raumfest = � � d�ω . dt körperfest (6.29) 205
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Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ
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Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung 1 0
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Inhaltsverzeichnis 3.2.1 Mathematis
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Inhaltsverzeichnis 5.2.3 Poisson-Th
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Inhaltsverzeichnis vii
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0 Einleitung 0.1 Vorbemerkung Diese
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1 Vektorrechnung 1.1 Grunddefinitio
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a b a + b b 1.2 Vektoroperationen A
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a b φ a b 1.2 Vektoroperationen Ab
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1.3 Komponentendarstellung von Vekt
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1.3 Komponentendarstellung von Vekt
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(A1.4.1) Beweisen Sie die Identitä
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1.6 Anwendungen der Vektorrechnung
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1.7 Differentiation und Integration
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1.7.2 Integration von Vektoren 1.8
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x z φ z r Abbildung 1.12: Zur Einf
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(ρ cos φ, ρ sin φ, z). Mit Glei
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is zur ersten Ordnung ergibt: dψ =
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1. auf eine skalare Funktion T (�
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1.9.4 Rotation 1.9 Vektorielle Diff
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jeweils zwei für Gradienten, Diver
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Einheitsvektoren mit dem Skalenfakt
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1.11 Differentialoperatoren in krum
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1.11.6 Beispiel: Kugelkoordinaten M
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2 Newtonsche Mechanik Die klassisch
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2.1 Das Physikalische Weltbild vor
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2.1 Das Physikalische Weltbild vor
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2.2 Die Newtonschen Axiome einen Or
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2.2 Die Newtonschen Axiome Newton p
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2.2 Die Newtonschen Axiome allein i
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2.3.2 Arbeit 2.3 Grundbegriffe der
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Für die elastische Kraft 2.3 Grund
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2.4 Integration der Bewegungsgleich
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2.4.3 Konservatives Kraftfeld F = f
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2.5 Reibung Die Wurfdauer ergibt si
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und durch direkte Integration � t
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3 Analytische Mechanik 3.1 Eingesch
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m Z l y φ K= mge 2 Abbildung 3.2:
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3.2 Beispiel 2: Das Pendel im Schwe
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3.2 Beispiel 2: Das Pendel im Schwe
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3.3 Beschreibung von Flächen und K
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3.4.1 Wieder Beispiel 1: Schiefe Eb
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3.4.2 Allgemeiner Fall 3.4 Lagrange
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3.5 Energieerhaltungssatz im Fall v
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3.6 Das Prinzip von d’Alembert (b
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3.7 Lagrange-Gleichungen 2. Art Mul
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3.7 Lagrange-Gleichungen 2. Art Ein
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3.8.2 Atwoodsche Fallmaschine 3.8 E
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so sind die Koeffizienten (3.101) u
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l + l 1 2 folgt für die kinetische
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3.9 Weitere Anwendungen dessen Lös
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3.10.1 Beispiele x 1 y (x) 3.10 Exk
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α = 0 liefert den Extremalwert J(
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3.10 Exkurs über Variationsprinzip
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Setzen wir dies in Gleichung (3.148
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3.11 Hamiltonsches Prinzip Weil die
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Durch Aufsummieren folgt sowohl als
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x R Θ l φ 3.11 Hamiltonsches Prin
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3.12 Symmetrien und Erhaltungssätz
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y r y’ K K’ V r’ 3.12 Symmetr
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3.12.5 Noether-Theorem für autonom
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3.13 Geschwindigkeitsabhängige Kr
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Weil � A(�r, t) nicht von der G
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Es ist �vi · ∂�vi ∂ ˙ qj
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so dass wir den Virial-Satz erhalte
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4 Das Zweikörper-Problem Wir betra
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4.2 Relativbewegung schreiben könn
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wir mit Gleichung (4.19) für die
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Durch Integration erhalten wir r mi
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4.3 Kepler-Problem: Planetenbewegun
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4.4 Mathematische Zwischenbetrachtu
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4.5 Fortsetzung des Kepler-Problems
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4.5 Fortsetzung des Kepler-Problems
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a b ψ c = aε 4.5 Fortsetzung des
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Seite 167 und 168: 4.6 Hyperbelbahnen f(φ) kann das V
Seite 169 und 170: Aphel rmax rmin m1 Perihel Abbildun
Seite 171 und 172: 4.8 Das Streuproblem des Targetteil
Seite 173 und 174: Benutzen wir Θ = π − 2φG , so
Seite 175 und 176: 5 Hamilton-Mechanik Mit der Hamilto
Seite 177 und 178: 5.1 Hamiltonsche Bewegungsgleichung
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Seite 183 und 184: Definition : Wir definieren die Poi
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Seite 189 und 190: 5.3 Kanonische Transformationen wei
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Seite 199 und 200: 5.6 Separation der Variablen Die Ko
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Seite 213 und 214: x’ x z z’ y’ y 6.1 Kinematik
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Seite 221 und 222: 6.4 Trägheitstensor und Hauptachse
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8.3.4 Quintessenz 8.4 Vakuumdruck N
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8.5.3 Vakuum Für das Vakuum erhalt
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8.7 Zukünftige Beschleunigung des
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8.8 Rotverschiebung, Lichtlaufzeit
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Für Ωm0 < 1 gilt τ (r, Ωm0 <
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A Anhang A.1 Mathematischer Anhang
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A.2 Empfohlene Literatur A.2.1 Büc
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