R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

6.4 Trägheitstensor und Hauptachsentransformation
lineare Abhängigkeiten von den Komponenten der Winkelgeschwindigkeit ωi. Mit Hilfe des
Trägheitstensors
⎛
ˆΘ = ⎝
Θxx Θxy Θxz
Θyx Θyy Θyz
Θzx Θzy Θzz
⎞
⎠ ≡
N�
i=1
schreibt sich Gleichung (6.50) dann kurz als
mi
⎛
⎝
r 2 i − x2 i −xiyi −xizi
−xiyi r 2 i − y2 i −ziyi
−xizi −yizi r 2 i − z2 i
⎞
⎠ (6.51)
�L = ˆ Θ�ω . (6.52)
Da die Komponenten des Trägheitstensors reell und symmetrisch (Θij = Θji) sind, kann
die Matrix (6.51) durch eine Drehung des Koordinatensystems auf Diagonalgestalt gebracht
werden:
⎛
Θ1
ˆΘ = ⎝ 0
0
Θ2
⎞
0
0 ⎠ . (6.53)
0 0 Θ3
Die neuen Koordinatenachsen, die mit den Richtungen der Eigenvektoren dieser Matrix
übereinstimmen, heißen Hauptachsen oder Hauptträgheitsachsen, die Diagonalelemente Θi
Hauptträgheitsmomente.
Geht man vom Vielteilchensystem zu einer kontinuierlichen Massenverteilung mit der Dichteverteilung
ρ(�r) über, so berechnen sich die Komponenten des Trägheitstensors in Analogie
zu (6.51) aus
Θij =
�
V
dV ρ (�r) � r 2 �
δij − rirj . (6.54)
Als Beispiel zur Berechnung von Trägheitstensoren betrachten wir einen homogenen (ρ =
const) Würfel der Masse M mit der Kantenlänge b, der mit einer Ecke im Ursprung liegt
(siehe Abb. 6.8).
x 1
b
x 3
b
Abbildung 6.8: Homogener Würfel mit einer Ecke im Ursprung
b
x 2
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