R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

so sind die Koeffizienten (3.101) und (3.102) identisch gleich Null
und die kinetische Energie (3.99)
T =
bj = c = 0 ,
s�
j=1 k=1
s�
akj ˙qk ˙qj
3.8 Einfache Anwendungen
(3.103)
reduziert sich auf eine homogene Funktion 2. Grades in den verallgemeinerten Geschwindigkeiten.
Unter einer homogenen Funktion f(x) vom Grade n versteht man die Eigenschaft
f(λx) = λ n f(x) , ∀λ ∈ IR 1 . (3.104)
Betrachten wir als Beispiel den Übergang von zweidimensionalen kartesischen Koordinaten
(x, y) auf ebene Polarkoordinaten (r, θ) mit den zeitunabhängigen Transformationen (vergleiche
Kap. 1.8.3) x = r cos θ und y = r sin θ.
Mit
˙x = ˙r cos θ − r(sin θ) ˙ θ ,
˙y = ˙r sin θ + r(cos θ) ˙ θ
folgt für die kinetische Energie eines Massenpunkts
T = m � 2 2
˙x + ˙y
2
�
= m
�
˙r
2
2 cos 2 θ − 2r ˙r sin θ cos θ ˙ θ + r 2 sin 2 θ ˙ θ 2 + ˙r 2 sin 2 θ + 2r ˙r sin θ cos θ ˙ θ + r 2 cos 2 θ ˙ θ 2�
= m
�
˙r
2
2 �
+ r ˙ � �
2
θ
(3.105)
wieder eine homogene Funktion 2. Grades in den neuen Koordinaten.
3.8.4 Kochrezept für Lagrange-Gleichungen 2.Art
Im Sinne eines “Kochrezepts” fassen wir das Lösungsverfahren bei Lagrange-Gleichungen 2.
Art zusammen:
1. Wahl der verallgemeinerten Koordinaten q und Angabe der Transformationen x =
x(q, t) zu den kartesischen Koordinaten.
2. Bestimmung der Lagrange-Funktion L(q, ˙q, t).
3. Aufstellen der Bewegungsgleichungen.
4. Bestimmung der Erhaltungsgrößen.
5. Lösung der Bewegungsgleichungen, evtl. unter Verwendung von Erhaltungsgrößen.
6. Bestimmung der Integrationskonstanten.
7. Diskussion der Lösung.
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