R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit legen wir den Startpunkt 1 in den Ursprung des
Koordinatensystems, d.h. x(t = 0) = y(t = 0) = 0. Aus (3.146) folgt dann anfänglich
Θ(t = 0) = 0, so dass mit y(t = 0) = 0 dann die Integrationskonstante zu c1 = 0 bestimmt
wird. Für die Lösungen (3.146) und (3.147) folgt dann
x = a(1 − cos Θ) , y = a(Θ − sin Θ) . (3.148)
Die Konstante a muss dabei so angepasst werden, dass die Bahnkurve durch den Punkt 2
verläuft, d.h.
x2 = a(1 − cos Θ2) , y2 = a(Θ2 − sin Θ2) . (3.149)
Die Lösung (3.148) stellt die Gleichung einer Zykloide dar, die in Abb. 3.10 veranschaulicht
ist.
O
x
t
a
A
Abbildung 3.10: Illustration der Zykloidenbewegung
Ein Kreis mit dem Radius a rollt auf einer Geraden ab. Ein gegebener Punkt auf dem Kreis
beschreibt dann eine Zykloide. Aus Abb. 3.10 entnehmen wir für die Strecken OA = at und
ebenfalls OA = y + a sin t. Weiterhin gilt a = x + a cos t, so dass
y = a(t − sin t) , x = a(1 − cos t)
in Übereinstimmung mit den Gleichungen (3.149).
Wir lösen (3.148a) nach cos Θ auf:
und erhalten damit
102
cos Θ = 1 − x
a − x
, Θ = arccos
a a
sin Θ = � 1 − cos2 Θ = 1�
2ax − x2 .
a
y