R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3.11 Hamiltonsches Prinzip
Weil die Variation δy beliebig ist, liefert die Bedingung (3.160), d.h. δJ = 0, sofort die
Euler-Gleichung (3.135)
�
∂f d ∂f
−
∂y dx ∂y ′
�
= 0 .
Das Symbol δ ist nur eine kurze, kompakte Schreibweise der Variationsrechnung, wie sie im
Detail in Abschnitt 3.10.2 ausgeführt wurde.
3.11.2 Das Hamilton-Prinzip
Mit der kompakten δ-Notation schreibt sich das Hamilton-Prinzip (3.157) kurz als
δS = δ
� t2
t1
L (q1, . . . , qn, ˙q1, . . . , ˙qn, t) dt = 0 . (3.163)
Die Bewegung ist derart, dass die Variation des Linienintegrals S für festes t1 und t2 verschwindet.
Gleichung (3.163) wird auch als Prinzip der kleinsten Wirkung bezeichnet.
3.11.3 Erweiterung des Hamilton-Prinzips auf nichtkonservative Systeme
Sowohl das Hamilton-Prinzip als auch das d’Alembert-Prinzip führen, wie wir gezeigt haben,
zu den Lagrange-Gleichungen 2. Art. Letzteres ist aber allgemeiner, da es auch für
nichtkonservative (und nichtholonome) Kräfte gilt.
Gemäß Gleichung (3.74) gilt
oder
N� �
�Fi − ˙ �
�pi · δ�ri = 0 ,
i=1
N�
mi ¨ �ri · δ�ri =
i=1
i=1
N�
�Fi · δ�ri . (3.164)
Mit der Rechnung
d
� �
˙�ri · δ�ri =
dt
¨ �ri · δ�ri + ˙ �ri · δ ˙ �ri = ¨ �ri · δ�ri + 1
2 δ
� �2 ˙�ri
folgt nach Einsetzen von Gleichung (3.164)
�
N�
d
mi
dt
i=1
˙ �
N�
�
�ri · δ�ri = mi
¨�ri · δ�ri +
i=1
1
2 δ
� � �
2
˙�ri
N�
�
= �Fi · δ�ri + mi
2 δ
� � �
2
˙�ri ≡ δ ∗ W + δT (3.165)
mit δ ∗ W =
und T =
N�
�Fi · δ�ri
i=1
N�
i=1
mi
2
� �2 ˙�ri
i=1
(3.166)
(3.167)
105