R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

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6 Bewegung des starren Körpers (a) 1. Fall: für θ0 = π/2 oder Θ1 = Θ3 muss gerade erfüllt sein. ˙φ0 = Mgl Θ3 ˙ ψ0 . (6.138) (b) 2. Fall: für θ0 �= π/2 und Θ1 �= Θ3 hat die quadratische Gleichung (6.137) für ˙ φ0 die beiden Lösungen � 1 ˙φ0,1,2 = Θ3 2 (Θ1 − Θ3) cos θ0 ˙ � ψ0 ± Θ2 3 ˙ ψ2 0 − 4Mgl (Θ1 � − Θ3) cos θ0 . (6.139) Reelle Lösungen existieren nur, wenn das Argument der Wurzel nicht negativ ist, d.h. Für ˙ψ 2 0 ≥ 4Mgl (Θ1 − Θ3) cos θ0 Θ 2 3 � � 2 �Mgl ˙ψ0 = (Θ1 − Θ3) cos θ0 ergibt Gleichung (6.139) gerade eine Präzessionsfrequenz � Mgl ˙φ0 = , (Θ1 − Θ3) cos θ0 mit θ0 �= π/2. Für Θ3 � � 2 �Mgl ˙ψ0 > (Θ1 − Θ3) cos θ0 Θ3 ergeben sich die zwei Präzessionsfrequenzen (6.139). Zusammenfassend: Die nutationsfreie Präzession wird nur erreicht, wenn der Kreisel durch einen geeigneten anfänglichen Stoß eine Anfangsgeschwindigkeit ˙ φ(0) = ˙ φ0 erhält, die gleich den in den Gleichungen (6.138) und (6.139) errechneten Werten ist. 236 .
7 Spezielle Relativitätstheorie Eine große Anzahl von Untersuchungen, besonders die berühmten Experimente von Michelson und Morley, haben gezeigt, dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Richtungen immer gleich ist, und dass sie unabhängig von den relativen gleichförmigen Bewegungen des Beobachters, des übertragenden Mediums und der Lichtquelle ist. Die Galileische Transformation (2.16) kann deshalb nicht richtig sein (siehe Kap. 7.1.2) und muss durch eine andere, die Lorentz- Transformation, ersetzt werden, die die Lichtgeschwindigkeit in allen Systemen erhält. Einstein zeigte, dass eine solche Transformation die Revision der in der Newton-Mechanik gewohnten Begriffe von Zeit und Gleichzeitigkeit erfordert. Er ging noch weiter: aus der experimentellen Tatsache, dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Systemen konstant ist, verallgemeinerte er als grundlegendes Postulat, dass alle Erscheinungen der Physik in allen gleichförmig bewegten Systemen gleich erscheinen. Dieses sogenannte Äquivalenzpostulat behauptet, dass es im Sinn einer physikalischen Messung unmöglich ist, ein Koordinatensystem als wirklich stationär oder gleichförmig bewegt zu kennzeichnen; man kann nur schließen, dass sich zwei Systeme relativ zueinander bewegen. Somit müssen Messungen, die vollständig innerhalb eines Systems gemacht werden, ungeeignet sein, das System von allen anderen zu unterscheiden, die sich ihm gegenüber gleichförmig bewegen. Das Äquivalenzpostulat fordert, dass alle physikalischen Gesetze für alle gleichförmig bewegten Systeme in identischer Weise ausgedrückt werden müssen. Die Behauptung zum Beispiel, dass die Lichtgeschwindigkeit überall c ist, bedeutet, dass eine skalare Wellengleichung der Form �∇ 2 Φ − 1 c 2 ∂2Φ = 0 (7.1) ∂t2 die Lichtfortpflanzung in allen Systemen beschreibt. Das Programm der speziellen Relativitätstheorie besteht deshalb aus zwei Teilen. Zuerst muss eine Transformation zwischen zwei gleichförmig bewegten Systemen gewonnen werden, die die Lichtgeschwindigkeit erhält. Zweitens müssen die Gesetze der Physik bezüglich ihrer Transformationseigenschaften gegenüber dieser Lorentz-Transformation überprüft werden. Die Gesetze, deren Form nicht invariant ist, sind so zu verallgemeinern, dass sie dem Äquivalenzpostulat genügen (sog. kovariante Formulierung physikalischer Gesetze). 7.1 Die Lorentz-Transformation 7.1.1 Ableitung der Transformationsgleichungen Man denke sich zwei Bezugssysteme K und K ′ , die sich in x-Richtung mit einer konstanten Relativgeschwindigkeit � V zueinander bewegen (Abb.7.1). Aufgrund der Isotropie des Raums 237
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Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ
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Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung 1 0
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Inhaltsverzeichnis 3.2.1 Mathematis
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Inhaltsverzeichnis 5.2.3 Poisson-Th
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Inhaltsverzeichnis vii
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0 Einleitung 0.1 Vorbemerkung Diese
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1 Vektorrechnung 1.1 Grunddefinitio
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a b a + b b 1.2 Vektoroperationen A
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a b φ a b 1.2 Vektoroperationen Ab
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1.3 Komponentendarstellung von Vekt
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1.3 Komponentendarstellung von Vekt
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(A1.4.1) Beweisen Sie die Identitä
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1.6 Anwendungen der Vektorrechnung
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1.7 Differentiation und Integration
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1.7.2 Integration von Vektoren 1.8
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x z φ z r Abbildung 1.12: Zur Einf
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(ρ cos φ, ρ sin φ, z). Mit Glei
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is zur ersten Ordnung ergibt: dψ =
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1. auf eine skalare Funktion T (�
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1.9.4 Rotation 1.9 Vektorielle Diff
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jeweils zwei für Gradienten, Diver
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Einheitsvektoren mit dem Skalenfakt
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1.11 Differentialoperatoren in krum
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1.11.6 Beispiel: Kugelkoordinaten M
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2 Newtonsche Mechanik Die klassisch
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2.1 Das Physikalische Weltbild vor
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2.1 Das Physikalische Weltbild vor
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2.2 Die Newtonschen Axiome einen Or
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2.2 Die Newtonschen Axiome Newton p
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2.2 Die Newtonschen Axiome allein i
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2.3.2 Arbeit 2.3 Grundbegriffe der
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Für die elastische Kraft 2.3 Grund
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2.4 Integration der Bewegungsgleich
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2.4.3 Konservatives Kraftfeld F = f
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2.5 Reibung Die Wurfdauer ergibt si
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und durch direkte Integration � t
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3 Analytische Mechanik 3.1 Eingesch
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m Z l y φ K= mge 2 Abbildung 3.2:
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3.2 Beispiel 2: Das Pendel im Schwe
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3.2 Beispiel 2: Das Pendel im Schwe
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3.3 Beschreibung von Flächen und K
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3.4.1 Wieder Beispiel 1: Schiefe Eb
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3.4.2 Allgemeiner Fall 3.4 Lagrange
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3.5 Energieerhaltungssatz im Fall v
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3.6 Das Prinzip von d’Alembert (b
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3.7 Lagrange-Gleichungen 2. Art Mul
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3.7 Lagrange-Gleichungen 2. Art Ein
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3.8.2 Atwoodsche Fallmaschine 3.8 E
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so sind die Koeffizienten (3.101) u
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l + l 1 2 folgt für die kinetische
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3.9 Weitere Anwendungen dessen Lös
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3.10.1 Beispiele x 1 y (x) 3.10 Exk
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α = 0 liefert den Extremalwert J(
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3.10 Exkurs über Variationsprinzip
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Setzen wir dies in Gleichung (3.148
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3.11 Hamiltonsches Prinzip Weil die
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Durch Aufsummieren folgt sowohl als
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x R Θ l φ 3.11 Hamiltonsches Prin
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3.12 Symmetrien und Erhaltungssätz
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y r y’ K K’ V r’ 3.12 Symmetr
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3.12.5 Noether-Theorem für autonom
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3.13 Geschwindigkeitsabhängige Kr
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Weil � A(�r, t) nicht von der G
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Es ist �vi · ∂�vi ∂ ˙ qj
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so dass wir den Virial-Satz erhalte
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4 Das Zweikörper-Problem Wir betra
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4.2 Relativbewegung schreiben könn
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wir mit Gleichung (4.19) für die
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Durch Integration erhalten wir r mi
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4.3 Kepler-Problem: Planetenbewegun
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4.4 Mathematische Zwischenbetrachtu
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4.5 Fortsetzung des Kepler-Problems
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a b ψ c = aε 4.5 Fortsetzung des
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4.6 Hyperbelbahnen f(φ) kann das V
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Aphel rmax rmin m1 Perihel Abbildun
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4.8 Das Streuproblem des Targetteil
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Benutzen wir Θ = π − 2φG , so
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5 Hamilton-Mechanik Mit der Hamilto
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5.1 Hamiltonsche Bewegungsgleichung
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p Amω A A 5.1 Hamiltonsche Bewegun
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π 2 p φ 5.1 Hamiltonsche Bewegung
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Definition : Wir definieren die Poi
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Gleichung, so folgt d [f, g] = dt =
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Aus den Gleichungen (5.52) und (5.5
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5.3 Kanonische Transformationen wei
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5.3 Kanonische Transformationen ver
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5.4 Hamilton-Jacobi-Gleichung 5.4 H
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5.4 Hamilton-Jacobi-Gleichung Das s
Seite 197 und 198: 5.4 Hamilton-Jacobi-Gleichung (e) M
Seite 199 und 200: 5.6 Separation der Variablen Die Ko
Seite 201 und 202: 5.6 Separation der Variablen Die HJ
Seite 203 und 204: 5.6.2 Beispiel: Teilchen im Schwere
Seite 205 und 206: 5.7 Satz von Liouville Bezeichnen w
Seite 207 und 208: Satz von Poincare: Das Integral �
Seite 209 und 210: 5.8 Integralinvarianten von Poincar
Seite 211 und 212: 6 Bewegung des starren Körpers 6.1
Seite 213 und 214: x’ x z z’ y’ y 6.1 Kinematik
Seite 215 und 216: wobei ɛik infinitesimal klein sein
Seite 217 und 218: e 1 dφ d Ω e 3 x’ x Θ Θ Abbi
Seite 219 und 220: ω r K θ F Zentr. Abbildung 6.5: Z
Seite 221 und 222: 6.4 Trägheitstensor und Hauptachse
Seite 223 und 224: 6.4 Trägheitstensor und Hauptachse
Seite 225 und 226: O 6.4 Trägheitstensor und Hauptach
Seite 227 und 228: Mit �rα = � R + �r ′ α od
Seite 229 und 230: 6.4.5 Hauptachsentransformation 6.4
Seite 231 und 232: 6.5 Das Trägheitsellipsoid Setzen
Seite 233 und 234: 6.6 Die Eulerschen Gleichungen mit
Seite 235 und 236: ω (ω ,ω ,0) 1 2 e 1 e 3 6.6 Die
Seite 237 und 238: 6.7 Die Eulerschen Winkel 6.7 Die E
Seite 239 und 240: χ’ θ χ η’ ξ = ξ’ Abbild
Seite 241 und 242: 6.8 Lagrange-Mechanik des starren K
Seite 243 und 244: Für den symmetrischen Kreisel ist
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Seite 247: Aus der Lagrange-Funktion (6.119) f
Seite 251 und 252: 7.1 Die Lorentz-Transformation Die
Seite 253 und 254: folgen mit den Gleichungen (7.23)
Seite 255 und 256: Zum einen gilt nach dem Transformat
Seite 257 und 258: 7.2 Minkowski-Raum 7.2 Minkowski-Ra
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Seite 263 und 264: 8 Kosmologie fast ohne Allgemeine R
Seite 265 und 266: 8.3 Dichte und Druck des Universums
Seite 267 und 268: 8.3.4 Quintessenz 8.4 Vakuumdruck N
Seite 269 und 270: 8.5.3 Vakuum Für das Vakuum erhalt
Seite 271 und 272: 8.7 Zukünftige Beschleunigung des
Seite 273 und 274: 8.8 Rotverschiebung, Lichtlaufzeit
Seite 275 und 276: Für Ωm0 < 1 gilt τ (r, Ωm0 <
Seite 277 und 278: A Anhang A.1 Mathematischer Anhang
Seite 279: A.2 Empfohlene Literatur A.2.1 Büc
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