R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3.12 Symmetrien und Erhaltungssätze
Diese Unabhängigkeit von der Zeit wird als Homogenität der Zeit bezeichnet.
Wir beweisen den Energieerhaltungssatz in zwei Schritten: zunächst zeigen wir, dass bei
Homogenität der Zeit die sogenannte Hamilton-Funktion (siehe Gleichung (3.203)) eine Erhaltungsgröße
ist. Anschließend zeigen wir, dass bei einem konservativen Potential, wenn
also das Potential geschwindigkeitsunabhängig ist,
∂V
∂ ˙qj
= 0 ,
diese Hamilton-Funktion gleich der Gesamtenergie des Systems ist. Dann gilt der
Satz: Gelten für die Lagrange-Funktion L = T − V eines physikalischen Systems die Bedin-
gungen
∂L
∂t
= 0 ,
∂�rj
∂t
= 0 ,
∂V
∂ ˙qj
= 0 , (3.199)
so bleibt die Gesamtenergie E = T + V erhalten.
Für den Beweis brauchen wir das Euler-Theorem für homogene Funktionen: Sei f : IR N → IR
eine homogene Funktion m-ten Grades, d.h.
∀λ ∈ IR
und ∀�x = (x1, . . . , xN) ∈ IR N
gilt f (λ�x) = λ m f (�x) .
Dann gilt
N� ∂f
xi = mf (�x) . (3.200)
∂xi
i=1
Beweis: Das totale Differential von f(λ�x) = λ m f(�x) nach λ ergibt mit der Kettenregel
df (λ�x)
dλ =
N�
i=1
∂f ∂ (λxi)
∂ (λxi) ∂λ =
N�
i=1
Setzen wir in dieser Gleichung λ = 1, so folgt
i=1
∂f
∂ (λxi) xi = mλ m−1 f (�x) , ∀λ ∈ IR .
N� ∂f
xi = mf (�x)
∂xi
Q.E.D.
Jetzt wenden wir uns dem Beweis des Energiesatzes zu. Wir berechnen die totale zeitliche
Ableitung der Lagrange-Funktion L(qj, qj, ˙ t):
d
L =
dt
s� ∂L
qj ˙ +
∂qj
j=1
s�
j=1
∂L
¨qj +
∂qj ˙
∂L
∂t .
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