R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

Inhaltsverzeichnis
3.2.1 Mathematischer Einschub: Elliptische Integrale und Elliptische Funktionen
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3.2.2 Schwingungsfall EG < 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.3 Grenzfall extrem kleiner Auslenkungen EG ≪ 1 . . . . . . . . . . . . 73
3.2.4 Fall EG = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.5 Rotationsfall EG > 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Beschreibung von Flächen und Kurven im dreidimensionalen Raum . . . . . . 75
3.4 Lagrange-Gleichungen 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.1 Wieder Beispiel 1: Schiefe Ebene mit Lagrange I . . . . . . . . . . . . 77
3.4.2 Allgemeiner Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.3 Kochrezept für Lagrange-Gleichungen 1.Art . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.4 Bemerkung zu Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5 Energieerhaltungssatz im Fall von holonomen Zwangsbedingungen . . . . . . 81
3.6 Das Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.6.1 Virtuelle Verrückung δ�r eines Massenpunktes . . . . . . . . . . . . . 82
3.6.2 Allgemeiner nichtstatischer Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.6.3 Verallgemeinerte Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.7 Lagrange-Gleichungen 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.8 Einfache Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.8.1 Kräftefreie Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.8.2 Atwoodsche Fallmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.8.3 Allgemeine Form der kinetischen Energie . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.8.4 Kochrezept für Lagrange-Gleichungen 2.Art . . . . . . . . . . . . . . 91
3.9 Weitere Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.9.1 Schiefe Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.9.2 Doppelpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.10 Exkurs über Variationsprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.10.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.10.2 Euler-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.10.3 Das Brachistochronen-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.10.4 Verallgemeinerung auf mehrere unabhängige Variablen . . . . . . . . 103
3.11 Hamiltonsches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.11.1 Die δ-Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.11.2 Das Hamilton-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.11.3 Erweiterung des Hamilton-Prinzips auf nichtkonservative Systeme . . 105
3.11.4 Erweiterung des Hamilton-Prinzips auf nichtholonome Zwangsbedingungen
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3.11.5 Beispiel: Rollendes Fass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.11.6 Das Wesentliche der Lagrange-Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.12 Symmetrien und Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.12.1 Energieerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.12.2 Impulssatz, Schwerpunktsystem, Schwerpunktsatz . . . . . . . . . . . 115
3.12.3 Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.12.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
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