R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
3.11 Hamiltonsches Prinzip
Das soeben bewiesene Prinzip von Hamilton lautet:
Die Bewegung eines physikalischen Systems zwischen dem Zeitpunkt t1 und dem Zeitpunkt
t2 ist derart, dass das Linienintegral
S =
� t2
ein Extremum für die durchlaufene Bahn ist.
S hat die Dimension Energie×Zeit und heißt Wirkung.
3.11.1 Die δ-Notation
Wir schreiben Gleichung (3.134)
∂J(α)
∂α
=
=
kurz als δJ =
� x2
x1
� x2
x1
� x2
x1
t1
dt L (3.157)
� �
∂f d ∂f
dx −
∂y dx ∂y ′
��
∂y
∂α
� �
∂f d ∂f
dx −
∂y dx ∂y ′
��
η(x) ,
� �
∂f d ∂f
dx δy −
∂y dx ∂y ′
��
, (3.158)
mit der Notation δJ ≡ ∂J
∂y
δα , δy ≡ δα . (3.159)
∂α ∂α
Die Bedingung für den Extremwert lautet dann
δJ = δ
� x2
x1
dx f
�
y, y ′
�
; x = 0 . (3.160)
Sind die Integrationsgrenzen x1 und x2 fest, folgt aus Gleichung (3.160)
� x2
Weil
δJ =
x1
dx δf
folgt für die Variation (3.161)
δJ =
�
y, y ′
� � x2
; x =
δy ′
= δ
� x2
x1
x1
dx
� �
dy
=
dx
d
(δy) ,
dx
�
∂f ∂f
δy +
∂y ∂y ′ δy ′
�
�
∂f ∂f
δy +
∂y ∂y ′
d
dx (δy)
�
dx .
Wie vorher integrieren wir den zweiten Term des Integranden partiell und erhalten
104
δJ =
� x2
x1
�
∂f d
−
∂y dx
� ∂f
∂y ′
. (3.161)
��
δy dx . (3.162)