R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5 Hamilton-Mechanik
wobei E die Gesamtenergie des Systems ist.
Mit dem Ansatz (5.134) erhalten wir
1
2µ
� �dW1
dr
� 2
+ α2 φ
r 2
�
+ V (r) = E ,
so dass
dW1
dr = 2µ (E − V (r)) − α2 φ
r2 � �
und W = αφφ + dr
�
� 1/2
2µ (E − V (r)) − α2 φ
r 2
� 1/2
. (5.135)
Gemäß Gleichung (5.94) sind die neuen Koordinaten konstant Qj = βj. Gleichzeitig gilt die
Transformation (5.119), so dass
Qj = βj = ∂W
∂αj
− ∂E
t . (5.136)
∂αj
Identifizieren wir E = α1 mit der zweiten Konstante des Systems, so folgt für j = 1 aus
Gleichung (5.136)
β1 = ∂W
−
∂α1
∂E
t =
∂α1
∂W
− t ,
∂E
oder mit Gleichung (5.135)
�
t + β1 =
dr
Die Umkehrung dieser Gleichung liefert
Für j = 2 liefert Gleichung (5.136)
β2 = ∂W
∂αφ
= φ − αφ
Mit β2 = φ0 und x = 1/r folgt
�
φ = φ0 −
µ
�
2µ (E − V (r)) − α2 φ
r 2
r = r (t, α1, αφ, β1) .
�
� 2µ
l 2
dr
r2 �
2µ (E − V (r)) − α2 φ
r2 1
� 1/2 . (5.137)
� 1/2 .
dx
� � �� � . (5.138)
1/2
1 E − V x − x2 Die Umkehrung dieser Gleichung liefert die Bahngleichung r = r(φ). Die Anfangsbedingungen
legen die Konstanten β1, φ0, E und l = αφ fest.
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