R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

2 Newtonsche Mechanik
Wählen wir das positive Vorzeichen der Quadratwurzel und integrieren wir über die Zeit, so
erhalten wir mit der Integrationskonstanten c1
� x ds
√
a2 − s2 =
�
k
m t + c1 .
Die Substitution s = ay führt auf
� x
a dy
� 1 − y 2
= arcsin
�
x
�
�
k
=
a m t + c1 . (2.64)
Nutzen wir die zweite Anfangsbedingung x(t = 0) = a aus, so folgt für den Wert der
Integrationskonstanten
c1 = arcsin(1) = π
2
und die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung lautet
arcsin
Bilden wir den sin dieser Gleichung, so folgt
� � ��
x(t)
sin arcsin
a
= x(t)
a
oder x(t) = a cos
= sin
�
x
�
=
a
π
2 +
�
π
2 +
�
k
m t
�
�
k
t . (2.65)
m
= sin π
2 cos
�
k π
t + cos
m 2 sin
� �
k k
t = cos
m m t
�
k
2πt
t = a cos ωt = a cos . (2.66)
m T
Das Teilchen führt eine periodische Schwingungsbewegung mit der Frequenz
ω = 2πν = 2π
T =
� k
m
aus. Diese Frequenz wird oftmals als Federkonstante bezeichnet.
2.4.5 Senkrechter Wurf im Schwerefeld ohne Reibung
Wir untersuchen jetzt die Bewegungsgleichung im Kraftfeld
�FG = −mg�e3 , mit g = GMe
R 2 E
In diesem Fall reduziert sich die dynamische Grundgleichung (2.3) auf
= 9.81 ms −2 . (2.67)
m¨z�e3 = −mg�e3 , (2.68)
also auf ¨z(t) = −g . (2.69)
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