R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5 Hamilton-Mechanik
Für
u = ∂f
∂y
folgt dg = ydu + udy − ∂f
∂f
dx − udy = ydu −
∂x ∂x dx
und es gilt
∂g
∂x
= −∂f
∂x .
5.1.2 Ableitung der Hamilton-Gleichungen
Wir betrachten das totale Differential der Lagrange-Funktion:
dL =
s� ∂L
dqj +
∂qj
j=1
s�
j=1
∂L
∂ ˙
qj
Mit Gleichung (5.2) und den Lagrange-Gleichungen 2. Art (3.96) folgt
j=1
j=1
d ˙qj + ∂L
dt . (5.4)
∂t
∂L
∂qj
= d ∂L
= ˙pj ,
dt ∂qj ˙
so dass dL =
s�
s�
˙pjdqj + pjd ˙qj + ∂L
dt .
∂t
(5.5)
Es gilt die Beziehung
⎛ ⎞
s�
d ⎝ pj ˙qj ⎠ =
j=1
s�
˙qjdpj +
j=1
so dass wir mit Gleichung (5.5) erhalten:
⎛
⎞
s�
d ⎝ pj ˙qj − L⎠
=
s�
s�
˙qjdpj + pjd ˙qj −
j=1
=
j=1
s�
˙qjdpj −
j=1
j=1
s�
j=1
s�
pjd ˙qj , (5.6)
j=1
s�
˙pjdqj −
j=1
s�
j=1
pjd ˙qj − ∂L
∂t dt
˙pjdqj − ∂L
dt . (5.7)
∂t
Wir definieren die Hamilton-Funktion (siehe auch Gleichung (3.203))
H (�p, �q, t) ≡
s�
pj ˙qj − L . (5.8)
j=1
Diese enthält zwar über die Lagrange-Funktion L auch die Geschwindigkeiten ˙qj, aber diese
stehen über Gleichung (5.2) in direktem Bezug zu den Impulsen pj, so dass wir ˙qj = ˙qj(qj, pj)
durch qj und pj ausdrücken können. Der Vergleich mit Gleichung (5.3) zeigt, dass die
Hamilton-Funktion durch eine Legendre-Transformation aus der Lagrange-Funktion entsteht.
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