R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

4 Das Zweikörper-Problem
φ 1
φ 1
φ
m 1
r
m 2
verbotener Bereich
Abbildung 4.13: Hyperbelbahn bei attraktivem Potential
φ
verbotener Bereich
m 1
φ1 φ1 r
Abbildung 4.14: Hyperbelbahn bei repulsivem Potential
4.7 Der Runge-Lenz-Vektor
Beim attraktiven Kepler-Potential mit ɛ < 1 sind die Bahnkurven Ellipsen, insbesondere
geschlossene Bahnen. Es folgt weiterhin, dass sowohl der Ort, an dem die Masse m2 der
Masse m1 am nächsten kommt (Perihel), als auch der Ort, an dem die Masse m2 am
weitesten von der Masse m1 entfernt ist (Aphel), nicht wandern, sondern zeitlich fest liegen
(siehe Abb. 4.15).
Diese Konstanz des Perihels bzw. Aphels ist mit einer Erhaltungsgröße, dem sog. Runge-
Lenz-Vektor, verbunden.
Der Runge-Lenz-Vektor ist definiert durch
�B = ˙ �r × �l − α �r
,
r
(4.97)
wobei �l = µ�r × �r ˙
der Drehimpuls der Relativbewegung ist.
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m 2