R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5 Hamilton-Mechanik
wobei wir ausnutzen, dass alle variierten Wege die gleichen festen Endpunkte haben (δqi(t1)
= δqi(t2) = 0). Für Gleichung (5.24) folgt dann
� t2 �
�
δS = δpi ˙qi − ˙piδqi −
t1 i
∂H
δqi −
∂qi
∂H
�
δpi dt
∂pi
� t2 �
��
=
˙qi − ∂H
� �
δpi − ˙pi +
∂pi
∂H
� �
δqi dt = 0 . (5.25)
∂qi
t1
i
Da die Variationen δqi und δpi unabhängig sind, kann das Integral nur verschwinden, wenn
die Koeffizienten einzeln verschwinden, d.h.
˙qi = ∂H
∂pi
, ˙pi = − ∂H
∂qi
(5.26)
es folgen die kanonischen Bewegungsgleichungen.
Die Forderung nach unabhängiger Variation von qi und pi, die so wesentlich für die obige
Ableitung ist, beleuchtet den fundamentalen Unterschied zwischen der Lagrangeschen und
Hamiltonschen Formulierung:
Im Lagrange-Verfahren müssen die generalisierten Koordinaten qi und die generalisierten Geschwindigkeiten
˙qi am Anfang angegeben werden, um die Bewegung des Systems vollständig
zu bestimmen. Aber die ˙qi wurden stets als abhängige Variablen betrachtet, eng verknüpft
mit den qi durch ihre zeitliche Ableitung. Bei der Herleitung der Lagrange-Gleichung wurde
die Variation δ ˙qi durch die unabhängige Variation δqi mittels einer partiellen Integration nach
der Zeit ausgedrückt. Dies führte auf eine zweite Ableitung der Lagrange-Funktion L und
folglich auf Bewegungsgleichungen 2. Ordnung.
Wir erhalten Gleichungen erster Ordnung aus dem modifizierten Hamilton-Prinzip nur deshalb,
weil die Variation δpi, anders als δ ˙qi, als unabhängig von δqi angesehen wird. Die Impulse
mussten deshalb auf den gleichen Status wie die Koordinaten gehoben werden; beide sind
gleichberechtigte unabhängige Variablen, die nur durch die Bewegungsgleichungen selbst
und keine a-priori definierte Beziehung verbunden sind. Nur wenn die Menge der unabhängigen
Variablen von s auf 2s Größen erweitert wird, sind wir in der Lage Bewegungsgleichungen
zu erhalten, die von erster Ordnung sind.
5.2 Poisson-Klammern
Es sei eine Funktion f = f(�q, �p, t) gegeben. Solche Funktionen stellen beispielsweise messbare,
physikalische Größen (“Observable”) dar. Die totale zeitliche Ableitung lautet dann
df
dt
= ∂f
∂t +
s�
�
∂f
i=1
∂qi
˙qi + ∂f
�
˙pi
∂pi
Mit den Hamilton-Bewegungsgleichungen (5.10)–(5.11) folgt
df ∂f
=
dt ∂t +
s�
�
∂f ∂H
−
∂qi ∂pi
∂f
�
∂H
∂pi ∂qi
170
i=1
. (5.27)
. (5.28)